絕對值與一元一次方程

文 祁妍碩

絕對值是七年級數學非常重要的概念之一能與數學中許多知識組合出新的問題。今天我們重點研究絕對值符號中含有未知數的方程，即絕對值方程。解決這一問題需要從絕對值的性質、幾何意義出發，方可成功“拿下”。

在解絕對值方程之前，需要回顧以下知識點。（1）絕對值的性質：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。（2）絕對值的幾何意義：表示數軸上數a與b所對應的點之間的距離。

一、提出問題

例1解方程：|x-3|=2。

【錯解】解：x-3=2，故x=5。

【解析】方法1：從絕對值的性質出發，將這個方程看成是絕對值等于2的數有哪些？當然是±2，即x-3=±2，所以x=5或1。

方法2：從絕對值的幾何意義出發，如圖1，方程左邊|x-3|表示一個數x到3的距離。借助數軸，整個方程表示數軸上一個數x到3的距離等于2個單位，這個數分布在3的左側和右側，故這個數x為5或1，即x=5或1。

二、變式問題

例2求滿足方程|x+3|+| 2-x|=5的所有整數解。

【解析】解決絕對值方程的關鍵是去絕對值符號，我們可以根據絕對值的性質對x+3和2-x與0的關系進行分類討論。也可絕對值的幾何意義出發，如圖2，借助數軸，解決這類方程會更為快捷。先需要將方程改成|x-（-3）|+|x-2|=5，即：此方程看作一個數x到-3的距離與它到2的距離的和等于5，這樣的x在數軸上的什么位置？

如圖2，這個數x只要在-3和2之間都滿足條件。其中滿足條件的整數為-3，-2，-1，0，1，2。

例3解方程：|x+3|-2|x-2|=0。

【解析】從幾何意義出發，原方程表示x到-3的距離等于它到2的距離的2倍，借助數軸，記-3表示點A，2表示點B，點P記為x，即PA=2PB，又知道AB=5，如圖3和圖4可知，分兩類討論得到x=7或。