制造的斜齒輪齒向修形曲線的優化探究

田志勇

（南京高精軌道交通設備有限公司，南京 210000）

齒輪輪齒產生的變形不僅會受到機械因素的影響，在工作時如果出現高速運轉的情況，也會因熱因素的影響而變形。齒輪輪齒的變形會導致輪齒承受的載荷出現失衡的情況，而輪齒在長期載荷失衡時很容易出現局部早期點蝕或膠合，嚴重情況下甚至會導致輪齒折斷，對機械運行的穩定性與安全性均會造成嚴重影響。因此，為使齒輪在嚙合過程中遭受的沖擊被控制在合理范圍內，實現對載荷分布的有效控制，同時也是為了減少齒輪運行過程中產生的振動與噪聲，就需要對斜齒輪齒向進行修形[1]。而關于修形曲線的優化研究，則是保證齒向修形有效性的關鍵，對維持機械的正常運轉也十分重要。

1 齒輪輪齒變形的產生機理

輪齒變形主要是指輪齒齒面變形，主要表現為齒輪端面齒廓沿齒寬方向出現一定程度的扭轉，齒寬較寬的情況下輪齒齒面會出現扭曲或磨損，而齒寬較窄時則很有可能發生輪齒折斷的情況。該現象出現的原因在一定程度上是因為齒輪輪齒各端面切除量存在不均勻的情況。中小模數齒輪在批量進行精密加工時常采用蝸桿砂輪磨削的技術，而在應用蝸桿砂輪磨削漸開線斜齒輪時，則可將其工作過程看成是一對交錯軸斜齒輪的嚙合過程。蝸桿砂輪與被加工齒輪在磨削過程中主要以點接觸方式產生接觸，而接觸點會在輪齒齒面上產生持續性變化，從而形成接觸跡。而當齒輪進行齒向修形時，修形的曲線通常會疊加在齒輪分度圓的螺旋線上，此時分度圓上的接觸點在不同端面上的高度是不同的，而這種高度差則是形成齒向修形的關鍵。

通常接觸跡與齒輪端面會存在夾角，而一條接觸跡與輪齒頂端及根部的接觸點會存在明顯的高度差，這就意味著斜齒輪輪齒齒端截面輪廓是在多個不同接觸跡的共同影響下形成的。而在加工過程中會受到計算、誤差等因素的影響，以輪齒頂部到輪齒根部的順序為參考，一旦出現輪齒上端面頂部到根部的修形量逐漸減小，而輪齒下端面同樣順序下的修形量逐漸增大，也就意味著輪齒上端面到下端面的修形量變化是完全相反的，這種完全相反的情況就會造成齒輪輪齒變形或扭曲[2]。

2 如何確定齒向修形方式

通常情況下齒向修形僅僅針對小齒輪，在具體的內容上包括鼓形修形與齒端修形兩種，其中齒端修形的效果在于縮減斜齒輪在嚙合過程中承受的沖擊載荷，但綜合齒輪運行的情況來看，齒輪傳動過程中具有很多的影響因素，這些因素均會導致齒輪輪齒出現變形，而齒端修形的工作內容僅限于齒端端面及附近的局部區域，而當齒輪具有較大寬度時很容易引起嚴重的載荷集中，這種情況是齒端修形無法解決的；鼓形修形則能夠作用于全齒寬方向，因而對于齒輪因制造誤差或是受載荷時產生的彈性變形都能有效進行彌補。因此在具體修形方式的選用上，需要根據齒輪的尺寸及用途進行分析，在綜合考慮過性價比的前提下選擇最經濟的修形方式。

一般齒輪在進行齒向修形如果選用鼓形修形，通常是指中央鼓形修形，該修形方式能夠有效作用于直齒輪嚙合過程中載荷的有效控制，但在斜齒輪嚙合中僅僅采用中央鼓形修形的效果并不理想。這是由于直齒輪嚙合過程種嚙合線的長度往往是固定的，但斜齒輪的嚙合會出現嚙合線長度不斷變化的情況，因而僅靠中央鼓形修形無法滿足斜齒輪載荷及各方面能力的要求。

另一方面，承載傳動誤差（loaded transmission error，LTE）的情況也需要納入齒輪齒向修形曲線優化的考慮范疇。承載傳動誤差是指齒輪在運轉過程中產生振動和噪音的源激勵因素，而降低承載誤差傳動幅值（amplitude of loaded transmission error，ALTE）則能夠有效實現減振降噪。通常承載傳動誤差的出現是因為空載狀態下的傳動誤差（transmission error，TE）與負載下斜齒輪輪齒產生變形時疊加而出現，如果齒輪副重合度系數居于2 與3 之間，那么斜齒輪輪齒在嚙合過程中必然會經歷三齒- 二齒- 三齒- 二齒- 三齒這樣一個循環往復的過程，考慮到標準漸開線齒輪的傳動誤差系數通常為零，而三齒嚙合區在變形量上又因為受力端面較多而小于二齒嚙合區的變形量，因而在嚙合過程中承載傳動誤差的變化必然會呈現出起伏性的特征[3]。考慮到實際應用的斜齒輪在重合度上通常超過2，因此有時會將重合度也納入斜齒輪修形方法的優化考量范圍中。

由此可見，針對斜齒輪的齒向修形需要進行深入設計，提出不同的方案并進行驗證，以使斜齒輪齒向修形曲線的研究得到充分優化。在確定修形曲線的過程中需要考慮眾多因素，包括但不限于斜齒輪制造及安裝過程中產生的誤差、齒輪輪齒變形情況、齒輪軸變形的影響等，對可能出現的各種變形的組合均加以分析，最終確定斜齒輪齒向修形的曲線。

3 斜齒輪齒向修形曲線優化方法

由于斜齒輪齒向修形通常采用鼓形修形的方法，因此此處對修形曲線的優化方法也以鼓形修形方式為基礎進行研究。

3.1 齒面扭曲量的計算

要對斜齒輪齒向修形曲線進行優化，首先需要做的是計算好齒面扭曲量，在此基礎上才能進行后續修形曲線優化研究。當前對于齒面扭曲量的計算還不存在統一化的公式。考慮到齒面扭曲的情況最終會體現在齒形的誤差上，而齒形誤差又會因為齒向修形曲線的變化而產生變化，這種變化通常在齒輪輪齒上下端面處呈現出誤差絕對值的最大化（會出現一個為正值另一個為負值的情況），因此可以通過計算上下端面齒形誤差的差值來對齒面扭曲量進行評定。而進行這種評定需要先圍繞齒向鼓形修形曲線各端截面處的齒形誤差建立起相應的模型，模型如圖1 所示。

圖1 齒形誤差模型

圖中以La、Lb 分別表示齒頂修形曲線與齒根修形曲線，以L表示分度圓處修形曲線，那么可得任意端面處的齒形誤差如下。

由此齒面扭曲量可表示為：

3.2 齒面鼓形修形曲線的優化

通過上一節齒面扭曲量的計算公式能夠得知最大修形量g與齒面扭曲量之間呈正比例關系，如果從齒輪傳動角度考慮問題，鼓形修形不必要涉及到全齒寬范圍進行，僅僅需要在齒寬中部進行調整，就能夠實現載荷在齒寬中部的均勻分布[4]。因此，對齒向修形曲線兩端進行的優化可采用二次曲線組合的方式表現，其示意圖如圖2 所示。

圖2 齒向修形曲線優化圖

在依照不同的齒寬范圍將優化后的齒向修形曲線分成三段之后，可以發現對不同齒面扭曲修形的設計可通過控制其中的關鍵量實現，并確保其齒面扭曲情況在合理范圍內。

3.3 計算結果與實例分析

計算結果及實例分析需要在有實際數據支持的情況下才能佐證其可行性與準確性，本文采用參數化建模的方式，來為后期的有限元分析提供參考依據。

首先要做的是對標準斜齒輪進行建模，建模需要確定斜齒輪齒數、模數、壓力角、螺旋角、頂系系數等具體數據。取齒輪各方面參數如下：齒寬2.0mm、螺旋角18°、法面壓力角20°、法面頂隙系數0.25、齒數29、法面模數2.25mm。那么在獲得各方面參數之后，按照之前得到的齒面扭曲量計算公式對鼓形修形曲線優化前后齒面的扭曲量進行計算，可得如下計算結果：

對比優化前后扭曲量的計算結果，很容易看出優化后的修形曲線相比原本的修形曲線而言，在扭曲量上降低了72%，這在齒面扭曲量的降低水準來看無疑是非常明顯的。

隨后基于這些數據繪制參考源，以缺省的基準坐標系草繪出齒頂圓、齒根圓、分度圓、基圓基準曲線后，可借助方程生成兩條關鍵曲線（漸開線與方程漸開線），并確保兩條漸開線之間擁有相應的夾角。之后在根據這些內容草繪端面齒廓曲線與掃描軌跡，具體做法是沿用齒頂圓及齒頂圓弧，隨兩條漸開線作齒根圓角圓弧，并確保齒根圓角圓弧與齒根圓相切，這樣就能得出封閉狀態的齒廓曲線，隨后可創建原點軌跡線與螺旋軌跡線。最后，以掃描混合的方法生成斜齒輪其中一個輪齒，而其他輪齒的生成或創建則可采用特征陣列的方法，隨后再進行開鍵槽及倒角的操作，就能生成一個完整的斜齒輪模型。

完成斜齒輪建模之后要對齒輪建模進行修形，修形操作需要沿齒向進行，這就意味著在建模過程中繪制齒廓曲線時要對其進行復制，以便修形時應用平移或旋轉的方式獲取多個齒廓曲線，齒廓曲線的個數則需要參考修形曲線來確定。在此過程中，平移操作需確保平移總距離等于斜齒輪寬度，旋轉操作則應保證旋轉總度數等于螺旋角的度數，而單次平移和旋轉的量則以其總數除以復制個數得出。之后應用復制生成的齒廓曲線，按照修形曲線修形量草繪出新的齒廓曲線。在完成這些內容之后，就可根據掃描混合命令進行拉伸，并最終生成修形完成后的斜齒輪。

對齒向修形曲線優化前后齒面接觸應力與齒向載荷分布的分析，主要是為了驗證斜齒輪齒向修形曲線的優化是否具有相應的價值，因此這種分析是很有必要的。本文借助有限元分析法進行驗證，首先在對齒輪副施加相應約束的情況下建立嚙合齒面的接觸副，并對平行軸斜齒輪實體副進行網格劃分。分析過程中首先假定任意時刻下齒輪副的嚙合運動均為準靜態過程，代入相關數據之后計算齒面應力，可得出標準斜齒輪的最大等效應力為386MPa，最大接觸應力為499MPa ；而齒向修形曲線優化前的最大等效應力為347MPa，最大接觸應力為452MPa ；在進行過齒向修形曲線優化之后，斜齒輪的最大等效應力為352MPa，最大接觸應力為467MPa。那么結合這些數據來看，齒向修形曲線優化之后齒輪副的最大接觸應力與最大等效應力均有一定程度的下降，而齒向修形曲線優化前后最大等效應力的變化并不明顯，最大接觸應力的變化則有小幅度提升，說明齒面最大等效應力及最大接觸應力受齒向修形曲線優化的影響并不明顯。在此基礎上如果提取齒輪副嚙合過程中的最長接觸線，并在該接觸線上均勻取點繪制接觸應力變化曲線，很容易發現經歷過齒向修形曲線優化后的齒輪，在臨近齒輪端面接觸點承受的應力要小于未修形的齒輪，而在斜齒輪經過優化之后，兩處端面附近的應力值相比未優化的齒向修形齒輪而言，雖然出現了一定程度的增長，但相對而言增幅并不很大，因此對載荷分布的影響也能得到有效控制，斜齒輪承受的載荷整體上依然分布在齒寬中部區域。

4 結語

由于機械運動涉及到的內容相對比較復雜，因而為了保證機械運行過程中的穩定性與可靠性，就需要綜合多方面因素設計斜齒輪齒向修形曲線的優化方式。在得出相應優化方式之后，還需要帶入實際數據進行認證，從而確保齒向修形曲線的優化具有相應的可靠性，能使斜齒輪所受載荷均勻分布在齒寬中部。