現代微分幾何學的發展（下）

陳躍 朱善軍

從1920年代開始，德國有兩位幾何學家霍普夫（H. Hopf）、布拉施克（W. Blaschke）開始研究局部微分幾何的結構與整體拓撲結構之間的關系。布拉施克是漢堡大學數學教授，他有一位十分出色的中國學生，就是后來成為現代微分幾何學大師的陳省身先生。

陳省身從導師布拉施克那里學到了整體微分幾何的思想方法，并學習了很新的凱勒流形理論。1936年博士畢業后，他聽從布拉施克建議，赴巴黎跟隨é.嘉當繼續學習。在隨后幾年里，陳省身系統學習和掌握了é.嘉當關于李群、活動標架法、微分形式和聯絡幾何學的思想和理論，迅速到達微分幾何學的研究前沿。特別值得一提的是，陳省身在他以后畢生的研究生涯里，始終一心一意地運用微分形式這個十分有效的數學工具。

陳省身先生不愧為微分幾何學的大師，在他一生所研究的范圍中，實際上涉及微分幾何學中大部分主要的研究方向，其中就包括射影微分幾何、歐氏微分幾何、幾何結構和它們的內蘊聯絡、積分幾何、示性類、全純映射、極小子流形、值分布理論等方向。從20世紀的50—70年代這30年里，陳省身在美國的芝加哥大學和加州大學伯克利分校的數學系任教，培養和影響了一大批研究微分幾何學的數學家。陳省身在1950年代初寫的兩本油印的教材是當時唯一的關于微分流形與纖維叢理論的教科書，因此也成了十分搶手的學習和研究資料，并且流傳到世界各地，后來一直要等到1960年代才出現了第一批講解現代微分幾何的正式教材。

受到陳省身的思想和研究工作的巨大影響，并且在其他現代數學主要分支學科的合力作用下，微分幾何學在20世紀后半葉迅速發展成為現代數學的一門主流分支學科，研究的主要方向包括曲率與拓撲的關系、子流形、特征值問題、調和映射、復流形、里奇流、度量黎曼幾何等。從事微分幾何學研究的數學家人數大幅度增加，研究的成果也大量涌現。下面僅簡單介紹影響較大的幾項工作。

1960年代的阿蒂亞—辛格（Atiyah-Singer）指標定理

2004年，數學界三大獎之一的阿貝爾獎授予阿蒂亞和辛格，以表彰他們在40年前證明了這個指標定理，這個定理被認為是20世紀最偉大的數學定理之一，因為它揭示了微分幾何學與拓撲學、代數幾何學、偏微分方程等學科之間的深刻聯系。

1970年代的卡拉比—丘（成桐）（Calabi-Yau）定理

前文曾講到凱勒流形，這種復流形是復微分幾何與復代數幾何（有時將這兩者統稱為復幾何）的主要研究對象。數學家卡拉比（E. Calabi）在1950年代曾經提出過一個重要猜想：在“第一陳類”為零的緊凱勒流形中，一定存在唯一的里奇曲率為零的凱勒度量。卡拉比自己只能證明唯一性。要證明這種特殊度量的存在性問題，可以歸結為求一個高度非線性的復偏微分方程的解。證明解的存在性這一極其艱難的任務是陳省身的得意門生丘成桐完成的。他運用多種幾何與分析的方法（包括經典的先驗估計方法），經過幾年努力研究，終于在1976年證明了這個偏微分方程解的存在性，也就是把卡拉比猜想變成了“卡拉比—丘定理”。

和陳省身證明了高維高斯—博內定理相類似，卡拉比猜想的解決也同樣不是一個問題的結束，而是開創了一個龐大的全新研究領域——卡拉比—丘流形的幾何學。因為既然已經證明了里奇曲率為零的凱勒度量的存在性，所以數學家們自然就將具有這種特殊度量、并且第一陳類為零的復流形命名為“卡拉比—丘流形”。這種新流形的幾何學在代數幾何學與理論物理中具有很重要的應用。目前在理論物理中所研究的超弦理論是一種試圖統一自然界中所有的力（包括量子引力）的理論，完全出乎人們意料的是，在超弦理論中所用到的主要數學模型正好就是卡拉比—丘流形！

1980年代微分幾何學與規范場論的互相促進發展

物理學家楊振寧和米爾斯（R. Mills）在1954年所提出的規范場論主要用于描寫基本粒子的內在對稱性，利用規范場論所建立起的弱相互作用和電磁相互作用的統一理論已經為實驗所證實。數學家們后來發現，規范場論中的規范勢實際上就是纖維叢上的聯絡。不僅如此，在這個理論中出現的楊（振寧）—米爾斯方程是一組極有意義的非線性偏微分方程。于是，就像愛因斯坦在廣義相對論中運用了黎曼幾何一樣，物理學家們大量運用纖維叢的微分幾何來推進規范場論的研究，例如他們運用阿蒂亞—辛格指標定理來確定楊—米爾斯方程的自對偶解集。

在另一方面，規范場理論反過來也促進了對于微分幾何學的研究。在1980年代，數學家唐納森（S. Donaldson）發現：4維流形上楊—米爾斯方程的自對偶解集的模空間與流形的拓撲性質有直接的聯系，在此基礎上他發現了4維流形的新的拓撲不變量。唐納森的嶄新理論極大地推進了人們對于4維流形的研究。

2021年2月，中國科學技術大學幾何與物理研究中心特任教授陳杲完成的論文The J-equation and the supercritical deformed Hermitian–Yang–Mills equation（J方程和超臨界厄米—楊—米爾斯方程的變形），在數學界知名雜志Inventions Mathematics（《數學新進展》）上發表。J方程和超臨界厄米—楊—米爾斯方程均是來自物理學上的方程，其中J方程是由中國科學技術大學陳秀雄和英國數學家唐納森獨立提出的，而超臨界厄米—楊—米爾斯方程的變形則是由丘成桐等人提出的。

這篇論文涉及兩個方程：一個是成為量子力學標準模型的厄米—楊—米爾斯方程，而另一個則正是和相對論緊密相關的凱勒—愛因斯坦方程。凱勒—愛因斯坦方程是可以用來描述非常大的宇宙尺度上的方程，而厄米—楊—米爾斯方程則是用于描述量子尺度上的量子物理現象的方程。這一工作是在穩定的前提下，建立起凱勒—愛因斯坦方程和厄米—楊—米爾斯方程之間的一座橋梁，解決了復微分幾何領域里的世界性難題。

1990年代至21世紀初龐加萊猜想的徹底解決

2003年，俄羅斯數學家佩雷爾曼（G. Perelman）宣布他證明了龐加萊猜想，他所用的方法主要是改進的（“帶手術的”）里奇流方法。這樣，隨著這個長達百年的龐加萊猜想終于被證明，20世紀微分幾何學的發展成就也達到了一個輝煌的頂峰。

近年來華人數學家的又一大成就

2020年11月，中國科學技術大學的陳秀雄與王兵在Journal of Differential Geometry（《微分幾何學雜志》）上發表了令人振奮的文章Space of Ricci Flows （Ⅱ）——Part B： Weak Compactness of the Flows [里奇流空間（Ⅱ）——B部分：流的弱緊性]。這篇文章標志著“漢密爾頓—田猜想”和“偏零階估計猜想”這兩個國際數學界的重大猜想被成功證明。據悉，這兩個猜想曾困擾整個國際數學界20多年，并且它們的表述也有賴于微分幾何學中的“里奇流”。關于他們的工作，1986年于伯克利榮獲菲爾茲獎的唐納森曾給出高度評價，稱這是“幾何領域近年來的重大突破”。

關鍵詞：微分幾何 整體微分幾何 陳類 卡拉比—丘定理龐加萊猜想 ■