求解Caputo分?jǐn)?shù)階常微分方程的一個(gè)高階數(shù)值方法*

張旭梅，曹俊英

(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

分?jǐn)?shù)階微積分已有三百多年的歷史，近年來(lái)，它被越來(lái)越多的人關(guān)注，并在多個(gè)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，包含力學(xué)，記憶材料，自動(dòng)控制理論，粘彈性材料，分形理論，信息理論，分?jǐn)?shù)電容理論，金融，生物，工程等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1-4]提出并分析了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的高階數(shù)值格式。文獻(xiàn)[5]提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階數(shù)值微分公式并詳細(xì)討論了它的截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)[7]研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的時(shí)間有限元法。文獻(xiàn)[8]考慮了時(shí)間-分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的邊值問(wèn)題。

本文安排如下：在第一部分給出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的離散過(guò)程，并提出了一個(gè)高階數(shù)值格式；第二部分給出了所構(gòu)造高階數(shù)值格式的局部截?cái)嗾`差。

1 一個(gè)高階數(shù)值格式

我們所考慮的方程：

(1)

初值條件：

u(0)=u0

(2)

(3)

其中表達(dá)式Γ(·)表示Gamma函數(shù)。

下面，我們開(kāi)始離散分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)(3)，首先確定u(t)在t1和t2上的數(shù)值。使用二次拉格朗日插值，u(t)在區(qū)間[t0，t2]上的逼近式為：

(4)

這里φi，0(t)，i=0，1，2是定義在點(diǎn)t0，t1，t2上的二次拉格朗日插值基函數(shù)，其定義如下：

(5)

(6)

(7)

當(dāng)k≥3時(shí)，我們有：

(8)

在[tj，tj+1]上，u(t)的逼近式為：

(9)

其中：

(10)

把(4) 和(9)代入(3)式，我們得到：

(11)

其中：

j=1，…，k-1

(12)

這里所有的系數(shù)“A，B，C，D”都是僅依賴(lài)于α的常數(shù)，它們的值經(jīng)過(guò)仔細(xì)的計(jì)算如下：

Bj=2(2-α)(j-1)1-α+2(j-1)2-α-2j2-α

根據(jù)逼近式(12)，則方程(1)對(duì)應(yīng)于初值(2)的高階數(shù)值格式如下：

(13)

2 局部截?cái)嗾`差

數(shù)值格式(13)的局部截?cái)嗾`差的估計(jì)如下。

定理1：假設(shè)u(t)∈C3[0，T]設(shè)

(14)

|rk(Δt)|≤CuΔt3-α

(15)

其中Cu是一個(gè)依賴(lài)于u但與Δt無(wú)關(guān)的正常數(shù)。

證明：當(dāng)k=1時(shí)，類(lèi)似文獻(xiàn)[2]，我們可得：

(16)

這里Cu是只依賴(lài)于的正常數(shù)。

當(dāng)k=2時(shí)，類(lèi)似于……