由病毒傳播網絡談復雜網絡的發展

張利亞 杜 川 逯鵬

【摘 要】近年來，全世界爆發了多種全球性傳染病，這使得研究者們開始更多地關注病毒的傳播機理和如何采取有效措施控制病毒傳播，而復雜網絡為研究病毒傳播提供了有效工具，同時復雜網絡也是復雜性系統研究的重要手段，因此復雜網絡的研究具有十分重要的價值和意義。文章以實際社會網絡中的病毒及傳染病傳播為切入點，著重介紹了復雜網絡的統計特征、數學模型及復雜網絡上的病毒傳播知識，并對復雜網絡研究的發展進行展望。

【關鍵詞】復雜網絡;病毒傳播;仿真組合

【中圖分類號】R511;O157.5【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2020）11-0094-03

0 引言

從2003年的SARS病毒、2009年的甲型H1N1流感、2014年的埃博拉病毒，到2020年暴發的新型冠狀病毒，局部的傳染病會迅速演變為全球性的流行病大暴發，因此研究病毒的傳播機理，進而采取有效措施控制病毒傳播具有十分重要的價值和意義，而復雜網絡為此提供了有效的研究工具。不僅病毒傳播網絡及傳染病網絡，人類社會的很多網絡，比如社交網、語義聯系網、因特網、電力網、食物鏈網、蛋白質作用網、大腦網絡等，都可以用復雜網絡進行描述和分析[1]。本文以病毒傳播網絡為切入點，淺析當前復雜網絡的發展。

用復雜網絡來描述某一復雜系統時，節點表示某一物理實體，節點間的連邊代表節點間的關系或相互作用。1959年，Erdos與Rényi兩位學者創建了隨機圖理論，被公認為為復雜網絡的創始性系統研究。20世紀的后40年并沒有更好的研究方法提出。直到世紀之交，研究者們打破了長期的傳統圖論觀念，對復雜網絡開始了轟轟烈烈的研究，其中兩項重要發現被認為是其發展過程的里程碑：WS小世界網絡和BA無標度網絡。此后，復雜網絡的研究得以迅猛發展[2]。

1 復雜網絡理論基礎

研究者們用一些統計特性來描述復雜網絡，這些特性包括平均路徑長度、聚類系數、度與度分布、介數及其分布、模塊性、度相關性等[3]。實際的復雜網絡大多數都具有小的平均路徑長度、節點的度分布服從冪律分布、具有較高聚類性等。

1.1 平均路徑長度

平均路徑長度L（也叫特征路徑長度）表征網絡中所有節點對之間距離的平均值，而節點對之間距離用dij表示，指連接這兩個節點的最少的邊數。

網絡中dij的最大值稱為網絡的直徑，用D表示：

N為網絡中節點的總數。D與L可以用作衡量網絡的傳輸效率和魯棒性的指標。特定的實際網絡中，其平均路徑長度L也存在其特定的意義。例如，在病毒傳播網絡中L代表病毒傳播時間，交通網絡中L代表站點間的距離。L是表征網絡的整體特征參數。

許多實際的網絡雖然規模很大，即網絡節點數N很大，但其平均路徑長度L卻較小，這就是復雜網絡的小世界特性。這是因為L與N是對數成正比，即L∝lnN。大量研究表明，實際社會中的復雜網絡大多都具有小世界屬性。

1.2 聚類系數

節點的聚類系數描述：假設節點i存在ki個鄰居節點，而這ki鄰居節點之間又互相存在實際的連邊數為Ei，那么節點i的聚類系數Ci可以表示如下：

某一節點的聚類系數的含義：該節點全部鄰居節點之間的實際連邊數，與這些鄰居節點間最大可能連邊數的比值。而所有節點的聚類系數的平均值就構成了網絡的聚類系數C，由定義知0

1.3 度與度分布

度與度分布是網絡的一個重要參數。網絡中單個節點的度可以用該點所連邊數來表示，或者用該點的鄰節點數來表示。網絡中度大的節點通常稱為關鍵節點。網絡的度是指所有節點度的平均值，也稱為網絡的平均度，用〈k〉來表示。網絡中節點的度分布情況常用分布函數P（k）來描述，P（k）表示隨機選擇的某個節點的度恰好為k的概率是多大。

有兩種經典的度分布情況：一種是指數分布，即隨著k的增加P（k）以指數形式衰減;另一種是冪律分布，即P（k）～k- r，r為度指數，r的值與網絡的動力學特性有關。冪律分布也稱為無標度分布，此時網絡被叫作無標度網絡。

常見的網絡（比如規則網絡和隨機網絡）度的分布區間比較小，多數節點的度分布都集中在平均度（k）的左右，這是代表了網絡節點的同質性，故平均度〈k〉的值也被認為是網絡的一個重要特性指標。

1.4 復雜網絡模型

一個好的網絡模型能夠正確地表征真實網絡的拓撲結構特征。對復雜網絡建模是復雜網絡研究的一個重要方向，其目的是揭示形成這些共有統計特性的內在機制。但是，由于真實的網絡通常具有高度復雜性，那么僅用一個通用模型對所有真實網絡進行建模是不科學的。研究者們對復雜網絡的研究經歷了從規則網絡、隨機網絡，到小世界網絡與無標度網絡的發展歷程，比較經典的復雜網絡模型有規則網絡（比如星形耦合網絡、全局耦合網絡及最近鄰耦合網絡等）、隨機網絡（ER隨機網絡）、小世界網絡及無標度網絡。WS小世界網絡演化模型如圖1所示。

2 復雜網絡上的病毒傳播

截至目前，針對復雜網絡的研究整體上體現在兩個方面：一方面是揭示網絡結構演化的動力學機制，另一方面是研究網絡上的動力學過程。復雜網絡上動力學過程主要研究網絡結構對其上的動力學過程的影響，這有助于人們理解各種真實網絡的功能。復雜網絡上的動力學過程很復雜，例如耦合振子的同步、病毒傳播、演化博弈行為、雪崩效應等[4]。這里簡要介紹復雜網絡上的病毒傳播。

各類病毒造成的傳染病不單會危及人們的身體健康，還會給社會帶來重大的經濟損失，造成金融危機，演變為全人類的重大災難。因此，對于病毒傳播或者傳染病的發生機制、傳播機制，以及相對應的防控措施的研究是當今科學研究的重點和焦點。

病毒傳播動力學是對病毒傳播進行定量分析的一種理論方法。首先通過分析病毒種群的生長特征、發病機理與傳播規律，以及相關的生物和社會因素創建一個合適的數學模型;然后對該數學模型的動力學特性進行定性定量分析及數據模擬，進一步揭示疾病的發生過程及傳播規律;最后判斷傳染病的發展形勢，剖析病毒傳播的原因及要素，探求傳染病預防及控制的最佳策略。

經典的病毒傳播模型把病毒內的個體分為幾類，每一類均處于一個基本狀態。這些基本狀態包括：S（susceptible）易感狀態，也稱為健康狀態;I（infected）感染狀態;R（removed）被移除狀態。一般用不同狀態之間的轉化過程來定義不同的傳播模型。其中，影響最大的是Pastor-Satorras與Vespignani通過平均場理論建立的SIS及SIR模型。易感狀態被感染后又回到健康狀態并且擁有了免疫性，這種情況稱為SIR模型。如果易感人群被感染后又重新回到原來的易感狀態，這種情況稱為SIS模型。

復雜網絡上的病毒傳播和規則網絡上的病毒傳播有非常顯著的不同。在隨機網絡或者規則網絡中存在有限的正值傳播臨界值λc，當傳染病的有效傳播率低于λc時，感染節點總數成指數減少，到最后病毒在網絡中被消滅，此時的網絡處于吸收階段（absorbing phase）。與之相反，當傳染病的有效傳播率大于λc時，病毒會擴散，使最終網絡的感染個體總數趨于某個穩定狀態，此時網絡處于激活階段（Active Phase）。

當傳播網絡為無標度網絡時，一個節點的度越大，被感染的概率就越大。對于指數范圍是2<γ≤3的無標度網絡，當網絡節點數N→∞時，網絡的λ0→0。因為大部分無標度網絡都存在2<γ≤3，所以在無標度網絡中，總有λ≥λc，不管傳播強度多么小，疾病總能長期存在。

研究流行病、計算機病毒、知識、謠言等各種信息在真實系統中的傳播是一項非常復雜而有意義的工作，也是當前研究的熱點之一。例如，針對2020年暴發的新型冠狀病毒肺炎疫情，白亮等人研究了新型冠狀病毒來源、傳播途徑，并總結了易感動物模型最新研究進展[5]，李棟、白瑞瑞提出了一個關于新型冠狀病毒傳播仿真組合模型來有效模擬新型冠狀病毒（COVID-19）的傳播過程[6]。

3 復雜網絡研究展望

21世紀以來，得益于計算機、互聯網及各種高端科學技術的進一步發展，人們已經進入大數據時代，能夠快捷地獲取所需的各種信息和資源，人類的生活與科研也發生重大改變，復雜網絡已成為大數據時代不可缺少的一部分。

對于復雜網絡的研究還有助于人類解決當今所面臨的以下重要問題[7]：①可以為網絡工程的設計、防護和開發應用提供穩固的理論和技術基礎，例如研究計算機網絡上的病毒傳播有助于找到抑制病毒傳播的有效途徑。②21世紀是互聯網和大數據時代，網絡科學的研究具有現實和長遠的軍事國防意義。③復雜網絡研究有助于人類早日戰勝各種傳染病。例如，社會網絡中不同傳染病的傳播機制、人們采取什么控制措施能將損失降到最低。因此，對復雜網絡的研究具有重大意義。

參 考 文 獻

[1]劉建香.復雜網絡及其在國內研究進展的綜述[J].系統科學學報，2009（4）：33-39.

[2]周濤，傅忠謙，牛永偉，等.復雜網絡上傳播動力學研究綜述[J].自然科學進展，2005（5）：513-518.

[3]張利亞.視覺皮層突觸連接網絡演化模擬研究[D].鄭州：鄭州大學，2016.

[4]劉永奎.復雜網絡及網絡上的演化博弈動力學研究[D].西安：西安電子科技大學，2010.

[5]白亮，劉寶寧，趙四海，等.新型冠狀病毒來源、傳播途徑及易感動物模型研究進展[J].臨床醫學研究與實踐，2020（S1）：1-2，11.

[6]李棟，白瑞瑞.新型冠狀病毒傳播仿真組合模型[J].統計與決策，2020（5）：5-10.

[7]汪秉宏，周濤.當前復雜系統研究的幾個方向[J].復雜系統與復雜性科學，2008（4）：25-32.