探索反證法在數學證明中的推廣及應用策略

田子漫

摘 要：數學題型多種多樣，用常規的數學方法解題有時需要很繁雜的步驟才能逼近正確答案，有的問題甚至不能夠用一般的數學方法進行解答，若是一味強求只會陷入思維的死胡同，這時，反證法的學習以及應用就顯得相當重要了。掌握了反證法，做證明題時將如虎添翼。因此，文章首先將對反證法的定義進行簡要的介紹，并進一步延伸其含義，然后分析一般證明法的應用并舉例說明，最后將對反證法在數學證明中的一些推廣應用進行簡要的介紹。

關鍵詞：反證法;數學證明;推廣應用

在高中數學的學習中，各種類型的證明題層出不窮，而對于證明題型的解答，掌握正確的方法是必不可少的。比如在函數性質的證明、復合函數解析式的進一步推導、數列的某些結論證明、不等式的證明、某些定理和證明中，采用常規的方法，都可能沒辦法解答或者解答過程極為繁瑣，這就需要采取另外的方式，尤其是反證法。有效地利用題目中的一些條件和數字，并表征為恰當的數學語言，再在符合數學公理的基礎上對之進行轉化和進一步推導，直達問題的本質。反證法能夠在數學解題中另辟蹊徑，換用不同的方式來答題，可以迅速找到突破口，使得解題真正高效起來。

1? ? 反證法的定義與一般應用

反證法思想的定義是，為了證明某個命題的成立，先提出其逆命題，假設該逆命題是成立的。從逆命題出發，經過邏輯推理一步步向后推導，直至推導出某個與已知的定理、條件或是事實相矛盾的結果，以此證明該逆命題是不成立的，即該命題成立，如此便達到了“反證”的目的。運用反證法能夠有效提高學生的邏輯思維能力，也能夠鍛煉學生解決問題、活用公式和定理的能力。

通常來說，反證法具有以下幾個特性：（1）新穎性。反證法采用的是逆向思維，與常規思維恰恰相反，具有創造性。（2）批判性。反證法往往從反方向去思考問題，然而這將得到意外的收獲。（3）普遍性。反證法可以在諸多的問題中得到應用。

舉個最簡單的例子，命題為“自然數的個數有無限多個”。那么其逆命題為“自然數個數為有限多個”，若是該逆命題成立，那么在有限多個自然數中，一定存在一個最大的自然數，如果給它加上1，就有了比它更大的數。此時，它便不再是最大的自然數了，由此可以說明不存在最大的自然數，即“自然數個數為有限多個”的命題是錯誤的。因此，原命題得證，這便是反證法。

2? ? 反證法的推廣應用

2.1? 利用補集法解題

當某個問題的答案很難從正面求解時，比如，運算太過于復雜、分類討論所需考慮情況太多等，可以運用逆向思維從反面出發求解，在得出答案時，再求其補集，即可得到正確答案。盡管在高中階段并沒有系統地學習補集法，但仍可以將它作為一種重要的解題手段，在解題中合理地運用。

以“生日怪論”為例，假如在一個高中班級中有23位同學，求至少有兩個人同一天生日的概率。設甲事件為“至少有兩個人在同一天生日”，設乙事件為“任意兩位同學都不在同一天生日”，可以比較輕松地求得乙事件發生的概率：P=（365×364×…×343）/36 523=0.493。因此可以知道“至少有兩個人在同一天生日”的概率為0.507，其發生的概率居然在50%以上，這與人們的感覺是有些相悖的。

2.2? 利用反例法進行解題

反例指的是能夠滿足命題的條件卻不滿足其結論的實例。通過將問題特殊化，極大地縮小考慮問題的范圍，而反例法正是一種比較具體的，能夠將數學問題進行解答的特殊化形式。證明一個結論的正確性可能需要很復雜的一系列推理和分析，而要證明一個結論是錯誤的只需要列出一個反例就行，并且舉反例還會顯得很直觀且具有說服力。

在利用反例法進行解題時，往往需要大量的數學知識和豐富的想象力作為基礎。除了解題之外，舉反例這一方法能夠有效地在教學中幫助學生理解和記憶數學概念、定理等，教師往往可以通過列舉一些經典的反例，來從不同的層面對數學概念、定理進行解釋和闡述，學生將更容易掌握。比如在學習相似三角形的內容時，其判定定理為“兩邊對應成比例且夾角相等”，要注意其中的“夾角”這一條件，通過舉出“當兩邊對應成比例且某角相等，然而兩個三角形并不相似”的反例，便能夠使學生牢牢記住該定理，減小了犯類似錯誤的可能。一些生動而又靈活的反例，不僅會使得課堂顯得更加生動有趣、激發學生學習的興致，還能夠鍛煉學生的思維能力和創造力。因此，將反例法有效地應用在數學解題和教學中是相當有用的。

3? ? 結語

反證法是一種與常規解題方法背道而馳的辦法，在數學證明中的應用極為廣泛。應當努力掌握好反證法，培養和鍛煉反證法的思維，并熟練掌握反例法以及補集法等，將之有效地應用在數學解題中，從而能夠有創造性地鍛煉思維，并高效地解答數學題目。

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