狀態觀測器在直線一級倒立擺系統中的應用

馬燕++徐立軍

摘 要：本文利用了MATLAB仿真平臺對設計的狀態觀測器進行仿真，并將其應用在直線一級倒立擺系統中，證明了控制器設計的正確性與有效性；最后在基于狀態觀測器的倒立擺閉環控制系統上施加了隨機擾動，通過SIMULINK仿真分析狀態觀測器的抗干擾能力。

關鍵詞：直線一級倒立擺；狀態觀測器；抗擾性

0 引言

對于完全能控的線性定常系統，可以通過線性狀態反饋任意配置閉環系統的極點，并使系統在李雅普諾夫意義下漸進穩定。但由于種種原因（外界干擾等），系統的狀態變量不能直接測量， Luenberger提出的狀態觀測器理論，解決了在確定性條件下受控系統的狀態重構問題。當系統完全可觀時，狀態反饋成為一種現實的控制律，狀態觀測器的物理實現成為可能[2]。倒立擺是處于倒置不穩定狀態、通過人為控制使其處于動態平衡的一種擺，是一個多變量、強耦合、自然不穩定系統，是重心在上、支點在下控制問題的抽象，使其更具有研究價值和意義。

1 直線一級倒立擺系統的穩定性

1.1 直線一級倒立擺系統的模型

倒立擺系統是一種復雜的要求快速性很高、有很強的非線性系統。為了簡化直線一級倒立擺系統分析，在建立實際數學模型過程中，基于以下假設：

（1）忽略空氣阻力；（2）將系統抽象成小車和均質剛性桿組成的系統；（3）忽略擺桿與支點之間等的各種次要摩擦阻力；（4）皮帶輪與傳送帶之間無滑動，傳送帶無伸長現象。

通過簡化倒立擺模型，可以得到系統的狀態空間方程為：

其中，x—表示小車的位置；—表示小車的位移；—表示擺桿與垂直方向的夾角；—表示小車的角速度。

假定系統物理參數設計如下表所示。

將其在Matlab/Simulink里面搭建仿真模型[2]，如圖1所示，仿真結果如圖2所示。

由SIMULINK仿真結果可以看出，直線一級倒立擺系統是一個不穩定的系統。

1.2 直線一級倒立擺系統的能控能觀性

在MATLAB環境中，編寫如下輸入程序：

A=[0 1 0 0；0 -0.0914849 0.689655 0；0 0 0 1；0 -0.234577 26.8966 0]

B=[0；0.914849；0；2.34577]

C=[1 0 0 0；0 0 1 0]

M=ctrb（A，B）

N=obsv（A，C）

p=rank（M）

q=rank（N）

[n，m]=size（A）；

if p==n

disp（‘系統是能控的）

else disp（‘系統是不能控的）

end

if q==m

disp（‘系統是能觀的）

else disp（‘系統是不能觀的）

end

運行結果如下：

p=4

q =4

系統是能控的

系統是能觀的

綜上所述，得出這樣一個結論：直線一級倒立擺系統是一個不穩定的但能控能觀的系統。

2 狀態觀測器的設計

2.1 全維狀態觀測器的設計

狀態反饋能任意配置閉環系統的極點，有效地改善系統的性能。要利用狀態反饋，必須要得到系統內部的各個狀態變量x（t），可是系統的狀態變量一般是難以獲取的，甚至無法測量，這個時候就需要設計狀態觀測器來重構系統的狀態[1]。

在SIMULINK環境中，搭建其模型并進行仿真[3]，仿真結果如圖3所示。

由仿真結果可知，系統最終達到穩態，擺桿角度最終為零，即擺桿保持豎直向上不倒，小車最終也達到平衡位置。

2.2 降維狀態觀測器的設計

直線一級倒立擺的數學模型是四階的，但rank（C）=2，即小車位移x和倒立擺的角度 直接由輸出傳感器測量，因而無需估計，可以設計降維（二維）狀態觀測器。

在Matlab中搭建降維觀測器的系統框圖，其仿真結果如圖4所示。

從上圖仿真結果來看，倒立擺系統最終保持平衡。小車的位移和單擺的角度都達到了穩態。系統的動態性能和穩態性能都得到了有效地改善，控制效果較好。

3 狀態觀測器的抗擾性能分析

3.1 全維狀態觀測器的抗擾性分析

由于降維狀態觀測器中y通過增益陣直接傳遞到其輸出端，所以若y中包含干擾時它們將全部出現于x中；而在全維狀態觀測器中，y需要經積分器濾波后才傳送到輸出端，從而x中由y包含的干擾所引起的影響已大為減少。因此，理論上分析可知全維狀態觀測器的抗擾性能要優越于降維狀態觀測器。

對倒立擺系統施加了隨機擾動信號“Random Number”，即相當于小車和擺桿受到了一個隨機的擾動。

給整個系統施加了一個隨機擾動后，系統在平衡點處產生了振蕩，變得有些不穩定，不過由于控制器發生了良好的控制作用，擺桿和小車仍然保持在平衡點附近，振蕩的幅度較小，這充分說明了全維狀態觀測器的抗擾性是比較及時的，抗擾性能比較好。

3.2 降維狀態觀測器的抗擾性分析

在基于降維狀態觀測器的狀態反饋控制系統上，也同樣施加了一個隨機擾動信號，

在基于降維狀態觀測器的狀態反饋閉環系統上施加了隨機擾動之后，系統失去了原先的平衡，并在平衡點處產生了振蕩，由于降維狀態觀測器的控制作用，擺桿和小車始終保持在平衡點的附近。但是與全維狀態觀測器的抗擾動性能相比較，振蕩比較劇烈，幅度明顯要大一些。這充分證明了全維狀態觀測器的抗擾性能要優越于降維狀態觀測器。

4 結束語

采用狀態空間的極點配置法設計控制器，實現了對倒立擺系統的平衡控制，方案設計簡單，容易實現。仿真結果也表明，系統的綜合性能優良，不僅動態性能、穩態性能良好，而且魯棒性也比較強。目前，一階倒立擺控制系統的設計可由多種方法和理論來實現其系統的穩定控制，如自適應、狀態反饋、模糊控制和智能控制等。可以嘗試采用不同的控制策略有效地改善基于狀態觀測器的狀態反饋控制系統帶來的弊端，使得控制系統的性能指標達到所期望的要求。

參考文獻：

[1] 田佳，戰振忠.基于MATLAB平臺的現代控制理論研究[J].吉林工程技術師范學院學報，2010（09）：33-35.

[2] 黃忠霖.控制系統MATLAB計算及仿真[M].北京： 國防工業出版

社，2001.

[3] 李國勇，謝克朋，楊麗娟.計算機仿真技術與CAD[M].第二版.電子工業出版社，2009.endprint