對大二應用物理專業“量子物理”課程的淺見

周康

[摘 要]應用物理專業的本科生，例如光學、材料、微電子等專業的學生，需要在大二學習量子力學。然而，大二的學生并不具備傳統的本科量子力學課程所要求的數學與物理基礎。該文作者對如何解決這個困難給出了一些探討和建議，試圖尋求一種適合于大二應用物理專業學生的量子物理課程。

[關鍵詞]量子力學;大二;應用物理

[中圖分類號] G642.0[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）48-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

誕生于一百年前的量子力學對現代科學的許多分支都有著深遠的影響，而且它的影響力直至今日都還處于持續擴大中。可以公正地說，缺少了量子力學，將無法深入探討現代物理學的絕大多數分支。對于主修應用物理方向—例如光學、材料、微電子—的本科學生，如果在大學期間未能打下足夠的量子力學基礎，未來的發展將受到極大的限制。因此，給這些專業的學生開設量子力學課程是非常必要的。然而，由于大三、大四期間有很多更加專門的課程需要學習，對于這些專業的學生，量子力學課程如果開設，常常會被安排到大二。這就帶來了一個問題：傳統本科生量子力學課程需要以理論力學與數學物理方法的相關知識為基礎，而大二的學生尚未學習這些課程。舉例來說，氫原子薛定諤方程的求解，對大二學生而言就是一道難以逾越的鴻溝。此外，對這些專業的學生而言，除了講清楚量子力學的基本物理概念和思想，還需要兼顧到量子力學在他們專業領域的特殊應用。

筆者從2017年開始，在揚州大學物理科學與技術學院給光學科學專業的大二本科生講授量子物理課程。通過總結三年來的經驗、平時對這門課程的思考以及與同行的討論，作者試圖在本文中對大二本科生量子物理課程的內容選取、講授方式、考核方式及學習方法給出一些探討和建議。

二、對量子物理課程教學的思考及建議

（一）課程內容的選擇

考慮到大二學生沒有關于特殊函數和求解偏微分方程的數學基礎，傳統量子力學課程中諧振子與氫原子薛定諤方程的解法都可以予以刪除。由于大二學生缺少格林函數的知識，而格林函數在處理散射問題時不可避免，因而散射問題也應當從課程中刪去。此外，由于應用物理方向的學生，在未來幾乎不可能用到數學上較為復雜的微擾論，這部分內容也可以跳過。盡管微擾論用到的數學工具并未超出他們的知識儲備，但是，大二學生的思維大多停留在普通物理的層面，多數學生并不適應冗長的數學推導。最后，由于缺少理論力學基礎，正則量子化中從泊松括號到對易括號的過渡，也可以舍去。我們可以直接將哈密頓算符作為能量算符來介紹，并闡釋哈密頓算符與演化算符的聯系，而避開哈密頓算符與經典力學中哈密頓量的關系。

在刪除了以上內容后，空出的課時允許我們添加傳統講授方式里所沒有的內容，尤其是一些物理味比較濃重的有趣例子。最后的課程編排如下：

（1）舊量子論。包括普朗克黑體輻射理論，愛因斯坦對光電效應的解釋，波爾氫原子模型。

（2）量子態與波函數。這一部分主要講授量子力學如何描述某一時刻的物理系統，以及與實驗測量的關系。主要內容包括波函數、量子態的概念、態疊加原理、狄拉克符號、本征態的概念、幾率幅的概念、不確定原理。這部分內容在整個量子力學中起到綱領的地位，其重要性不言而喻。對這部分內容的講述，作者建議參考國外優秀教材及參考文獻[1][2]。文獻[1]的作者狄拉克，是量子力學發展史中最偉大的科學家之一，狄拉克親自編寫的教材，也為后世所稱道。文獻[2]是由著名粒子物理學家櫻井純所著，受到諾貝爾物理學獎得主史溫格的高度評價。

（3）薛定諤方程及一維定態問題。宏觀地看，任何物理理論都包含兩個部分：一是如何描述某一時刻的物理體系;二是如何預言這個物理體系隨時間的演化。量子態與波函數，以及相關的種種概念，回答的都是量子力學如何描述某一時刻的物理體系。下一個問題是，量子態隨時間的演化。于是，首先要講授的是連續表象下的薛定諤方程。求解薛定諤方程僅限于一維勢阱和一維勢壘。如前所述，一維諧振子薛定諤方程的求解將不做講授。

（4）抽象形式與矩陣。這一部分以狄拉克符號為基礎，系統地給出量子力學的抽象形式，以及力學量算符的矩陣表示。離散表象下物理系統隨時間的演化也將在這一部分講授。對此，《費曼物理學講義》第三卷中提供了很好的例子，即雙態系統。費曼找到了許多雙態系統的有趣例子，如氨分子的翻轉，苯分子的能量，染料分子對光的吸收，等等。雙態系統的希爾伯特空間只有二維，此時薛定諤方程的求解甚至比一維勢阱更加簡單，然而卻可以向學生展現明晰的物理圖像。

（5）算符本征值的代數解法。主要包括構造產生、湮滅算符來求解諧振子能量本征值與本征態，以及構造升降算符來求解角動量算符的本征值與本征態。同時，為了解釋角動量算符是轉動生成元，這部分內容將包含另一主題：僅憑分析空間轉動的一般特征，來寫下繞x、y、z軸轉動的矩陣形式。這一推導方法對培養學生的物理直覺是非常有益的。

（6）對稱性與守恒律。這一部分主要講授物理體系的對稱性與守恒量的關系，主要包括：空間平移對稱性導致動量守恒，轉動對稱性導致角動量守恒，時間平移對稱性導致能量守恒，鏡像反射對稱性導致宇稱守恒。

（7）全同粒子。這一部分講授玻色統計與費米統計。考慮到光學科學專業的學生有一部分會在未來接觸到激光原理，因而玻色統計會著重講授，除了傳統內容外還包括玻色統計與諧振子產生、湮滅算符的關系，自發吸收、自發輻射、受激輻射間的平衡，如何從玻色統計推導普朗克黑體輻射公式。

最后一章的內容是為光學專業的學生量身定制的。對于材料或微電子專業的學生，則可適當選擇另一些更為切合他們專業的內容，例如能帶結構、半導體簡介、約瑟夫森結，超導的唯象理論、朗道能級。

（二）教學方法

與大多數理論物理課程類似，量子物理的教學方式適宜在課堂上將板書與PPT相結合，并布置作業和思考題幫助學生課后鞏固。這里主要談一下，對于初學者，如何使他們覺得有悖常識的量子物理并非那么枯燥或可怕。

首先，可以盡可能多地使用理想實驗。這些實驗雖然在歷史上并未做過，然而，當我們有了量子力學之后，可以回過頭告訴學生，如果有人去做這些實驗，會得到什么結果。這些理想實驗可以幫助學生跳過抽象的數學形式，直接感受到量子力學在物理上到底告訴我們什么，從而傳遞給他們較為清晰的物理圖像與物理思想。這里簡單舉幾個例子。

第一個例子，從光學中的楊氏雙縫干涉實驗出發，可以引出波函數的概念以及波函數的絕大部分特征。比如，讓“光源”發出光子、電子、經典子彈這三種粒子，可以知道微觀粒子有干涉效應而經典粒子沒有。比如，讓光源足夠弱，每過幾秒發出一個光子，發現干涉圖樣仍然存在，則可以推論出并非通過a縫的粒子與通過b縫的粒子相互干涉，而是，某種意義上粒子自己與自己干涉。比如，通過關閉雙縫中的一條，或者用別的辦法來探測粒子到底通過哪條縫，會發現，一旦知道了粒子所走的路徑，干涉就會消失。通過設想加上更多的縫和更多的擋板，還可以進一步引出費曼路徑積分的思想。

第二個例子，借助史特恩—格拉赫實驗，就可以講清楚量子態與測量的關系，包括本征態、幾率幅。比方說，將兩個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯，并使兩個裝置的磁場都指向z方向。假如當粒子穿過第一個裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當粒子穿過第二個裝置后，不會進一步分裂，而且自旋向上。如果仍然將兩個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯，但第二個裝置的磁場沿著x方向。當粒子穿過第一個裝置后，如果仍然將z方向自旋向下的一束擋住，當粒子通過第二個裝置后，會分裂成兩束，沿x方向自旋向上與向下的概率各一半。最后，將三個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯，第一個裝置磁場沿z方向，第二個裝置磁場沿x方向，第三個裝置磁場沿z方向。當粒子穿過第一個裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當粒子穿過第二個裝置后，將x方向自旋向下的一束擋住。那么，當粒子穿過第三個裝置后，將分裂為兩束，沿z方向自旋向上與向下的概率各一半。通過這些事實，可以歸納出幾率幅、本征態以及測量的一般特性。假如將自旋為1/2的粒子換成自旋為1的粒子，設想串聯一個個史特恩—格拉赫實驗的系統，以及遮擋掉儀器內的某些路徑，則可以討論更多內容，可參見參考文獻[3]中的相應部分。

第三個例子，通過介紹兩個粒子發生碰撞，最后在兩個特定方向被探測到的概率，就可以解釋全同粒子與非全同粒子的區別，玻色子與費米子的區別。我們可以考慮a粒子被散射到A方向，b粒子被散射到B方向，以及a粒子被散射到B方向，b粒子被散射到A方向這兩種過程。如果兩個粒子是可區分的，比如一個是氦原子核一個是氧原子，或者是兩個自旋相反的電子，則這兩個過程不會相互干涉。當兩個粒子是全同粒子，干涉效應就會出現。對于全同玻色子，在干涉中兩個過程的振幅相加;對于全同費米子，在干涉中兩個過程的振幅相減。

這些例子，都有充實的物理內容和物理圖像，而不是抽象的概念與公式，因此更加容易被初學者所接受。選擇理想實驗為切入點的另一個好處是，理想實驗方便制作動畫。相比于枯燥的公式，動畫能令學生更加印象深刻。

另一方面，我們可以以定性或半定量的方式，在適當的時候給學生展示更前沿或更廣泛的知識，來激發學生的興趣。這里舉兩個例子。第一個例子，在講授產生、湮滅算符時，可以告訴學生，這種代數方法不僅可以構造諧振子的能量本征態，在不同的物理背景下還有不同的解釋和應用，例如在量子場論里可以刻畫粒子數的增加和減少，在超對稱理論中可以刻畫玻色態和費米態間的映射，在超弦理論里可以刻畫弦的不同激發態。這有助于學生弄清楚哪部分內容是物理的，哪部分是數學的，并獲得一個印象：同樣的數學模型在不同的物理背景下可以有完全不同的解釋和應用。第二個例子，在講授鏡像對稱性與宇稱守恒時，可以展開討論在經典物理中左和右是無法區分的，并介紹楊振寧、李政道二位先生發現宇稱不守恒定律，并由吳健雄通過實驗加以驗證的故事。

（三）考核方式

考核方式與其他課程一樣，適宜采用期末卷面成績與平時成績結合的方式。平時成績原則上包括課堂表現和作業情況。然而，我建議，對于卷面分能到達85分以上的學生，平時成績可以無條件給予滿分。我深信自學能力是應該受到足夠重視的。諾貝爾物理學獎得主史溫格，大學期間幾乎沒去上過課，完全靠自學完成了深厚的知識積累。如果學生能通過自學達到卷面分85分以上，這樣的學生正是我們需要發現和培養的人才，應當予以鼓勵。

當然，這就涉及卷面分85分的含金量，亦即期末考如何命題的問題。我的建議是，試題應有明顯的梯度。假如一個學生只學到波爾提出了氫原子模型，雖然未達到這門課程的要求，但是與沒學到任何東西還是有區別的。因此，試題中最簡單的題，應該能使這樣的學生也可以得分。所以，我為這部分學生設計了一種最簡單的題型—連線題，將各個物理學家的人名與他們的貢獻連線。而最難的題，應該是不僅要深刻理解物理概念和思想，而且能靈活運用，并掌握一定的數學推導能力。換句話說，最難的題應該使最優秀的學生也感到不那么容易。這種題，我建議可以對某個真實的實驗過程加以簡化，要求學生對之進行分析和計算，使用量子力學知識來定量地預言實驗結果。

剩余的題目，除了保證難度的梯度外，還應尋求兩類學生間的平衡。一類是，很好地理解了物理概念，但數學推導能力不足;另一類是，對物理概念的理解不夠清晰，但計算能力很強。我認為這兩類學生的綜合水平難分伯仲，因此，命題時不能厚此薄彼。有鑒于此，我建議在傳統的計算題之外，設計一些專門考察概念理解的選擇題，例如在各個選項中區分經典概率與量子概率，區分可觀測量與不可觀測量，區分不同算符能否有共同本征態。此外，還可以加入不需要通過計算，僅憑對概念的理解即可定性地預言實驗結果的實驗分析題，例如史特恩—格拉赫實驗、雙縫干涉實驗，兩個全同粒子碰撞試驗，等等，以此來考察對概念的理解。

三、結語

在本文中，作者從課程內容的選取、教學方法的把握、考核的方式這三個方面，對如何給應用物理專業的大二本科生開設量子物理這門課程，給出了幾點淺見。這些意見來自幾年來教學經驗的總結、作者平時的思考以及與同行的探討。基于大二學生不具備全面接受傳統量子力學教學的數學與物理基礎，這些意見中含有許多對傳統量子力學教學方式的改動。改動傳統教學方式的另一個原因是，對于應用物理方向的學生而言，量子力學在他們未來的生涯中會有許多特殊的應用，需要予以專門的引導。

筆者相信，認真學習了本課程并取得合格成績的學生，對量子力學的基本原理和方法將會有清晰的理解。隨著后續對數學物理方法與理論力學的學習，他們將很容易通過自學補上課程中刪減的內容。同時我也相信，勤奮認真的學生，能通過本課程獲得足夠的基礎，在未來進一步學習量子力學，以適應各自工作的需要。我也希望，本課程除了在應用方面的價值外，還能帶領學生領略量子力學的深刻而條理清晰的思想，感受自然界的美與和諧，并產生理解自然界的愿望。西方文化中從古希臘以來對純粹理性本身的追求，是當下國內教育中相對欠缺的，雖然這個問題無法短時間解決，但筆者認為，教師有責任做這方面的嘗試。

由于經驗和水平的限制，筆者所提的建議或許并不成熟，也并不全面。希望在以后的教學生涯中，能逐步完善對這門課程的把握，更好地為學生服務。

參考文獻

[1]P.A.M.Dirac著.量子力學原理 注釋版[M].北京：科學出版社， 2008.

[2]J·J·Sakurai著.現代量子力學 修訂版[M].北京：世界圖書出版公司，2006.

[3] [美]費曼（Feynman，R.P.）等著.費曼物理學講義 第3卷[M].《費曼物理學講義》翻譯組，譯.上海：上海科學技術出版社，1989.