巧用二次函數解決電功率問題

數學是物理學習的語言和工具，將數學“工具”滲透到物理學習中，借助數學知識和方法解決物理問題是物理命題的永恒主題。很多物理解答題都是物理思維和數學思維高度融合的產物，需要借助數學方法才能順利解決。利用數學計算工具來完成物理公式變形后的最后解題步驟，同學們都不陌生，但將中學數學中代數的函數模型與物理問題高度融合，學生則普遍感覺困難較大。下面選取一道二次函數與物理電學融合的典型題目來說明應用數學知識求解復雜物理問題的技巧。

例題在實踐活動中，同學們設計了一種物品自動篩選器，可將質量小于一定標準的物體自動剔除，其原理如圖1所示。放在水平輕質傳送帶上的物品經過裝有壓敏電阻R的檢測區時，使R的阻值發生變化，其阻值隨壓力F變化的關系如圖2所示。已知：電源電壓為12 V，R0 =20 Ω，當電路中電壓表的示數小于2.4 V時，機械裝置啟動，將質量不達標的小水果推出傳送帶，實現自動篩選功能（取g=10 N/kg）。則當壓敏電阻電功率最大時，電路中的電流為多少？

分析：用公式P=U2/R分析，只考慮R變化，忽略了當R變小時，U也變小，不能根據該公式確定電功率在R阻值最小時取最大值。

正解：通過之前的分析可以看出，電功率和電流之間成非線性關系。想要求解此題，需要找到壓敏電阻電功率和電流的關系式，才能撥云見日。題中條件是電功率和電流兩個物理量，所以可以選擇公式P=UI或者P=I2R推導。

比較兩種方法的推導過程可以發現，第一種方法用P=UI公式推導較簡單些。兩種方法都要求最后推導至關系式中只有P和I兩個未知量，才能借助數學二次函數分析壓敏電阻電功率和電流的關系。

從推導出的關系式可以看出，P和I的關系是數學上的二次函數關系，非線性關系決定了電功率最大時，既不是R最大時，也不是最小時，壓敏電阻電功率與電流關系的二次函數圖像開口朝下（如圖3所示）。求解二次函數的最值可采用兩種方法。