例析勾股定理中的數學轉化思想

勾股定理的內容是“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”，它實現了從形到數的轉化;勾股定理的逆定理的內容是“如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形”，它實現了從數到形的轉化。在求解看似復雜難解的幾何問題時，若可以利用數學轉化思想將多邊形問題轉化成三角形問題，或將立體圖形問題轉化為平面圖形的問題，就可以借助勾股定理或其逆定理順利求解了。下面舉例分析。

一、將四邊形轉化成三角形，借助勾股定理及其逆定理求解

例1某街心公園中間有一塊形狀如圖l所示的草坪，已知各邊長度分別為AB =3 m，BC=4 m， CD=12 m， DA=13 m，且AB⊥BC，求這塊草坪的面積。

解：因為AB⊥ BC，所以在Rt△ABC中，有AC2 =AB2 +BC2，解得AC=5 m。又有ACz +CD2=DA2，由勾股定理的逆定理可知，△ACD是直角三角形，且∠ACD=

90°。所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+1/2×5×12=36（m2）。

二、將圓柱體轉化為平面圖形，借助勾股定理求解

例2 如圖2所示，已知圓柱的底面直徑BC=6/πm，高AB=

3m，小蟲在圓柱表面爬行，從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，求小蟲爬行的最短路程。

解：把圓柱側面展開，如圖3所示，點A、C的最短距離為線段AC的長。在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB= 3m，AD=1/2π×6/πm=3m，由勾股定理得AC2 =AD2 +DC2，解得AC=3√2m。因此小蟲爬行的最短路程為2AC=6√2m。

三、將長方體轉化為平面圖形，借助勾股定理求解

例3 如圖4所示，一實心長方體的相鄰三條棱的長度分別為AB=4 m，BC=2 m，BB1=1 m。一只螞蟻從長方體的頂點A出發，沿長方形的表面爬到對角頂點C1處。則螞蟻怎樣走路線最短？最短路線的長度是多少？

解：螞蟻從A點出發到達C1點，有6條路線可選，即經過正面和右面、經過正面和上面、經過下面和背面、經過下面和右面、經過左邊和上面、經過左面和背面。因為長方體的相對面完全相同，所以正面和右面的展開圖與背面和左面的展開圖完全相同。

小結：勾股定理及其逆定理是數學轉化思想的典型表現，數學規律、公式、思想都不是孤立存在的，同學們在學習數學學科的過程中，既要掌握基本概念和規律，還要多思多想，做到舉一反三、融會貫通。

作者單位：江蘇省南通特殊教育中心