厘清脈絡，破解橢圓離心率問題
2020-12-29 00:00:00宗園
中學生數理化·自主招生 2020年8期
橢圓的離心率是橢圓的重要性質，同學們在解決橢圓離心率的相關求值或取值范圍問題時，往往缺乏明確的解題思路，方法比較單一，或壓根找不到突破口。下面以一道試題為例，旨在提供較為清晰的代數（方程組）法和幾何（定義）法兩種思路，以幫助同學們厘清思路，找到解題方向。
例題過橢圓左焦點F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A、B兩點，若AF=2 FB，求此橢圓的離心率。
分析：此題可以采取代數法和幾何法解決。代數法的基本思路為設出B點（或A點）坐標，通過向量關系表示出A點（或B點）的坐標，充分利用方程思想，將兩點坐標帶人橢圓方程，消元后得到a和c的關系式，從而求得離心率;幾何法緊抓橢圓的兩種定義，結合圖形關系得到a和c的關系式。
總之，處理離心率的求值問題主要從數和形兩方面研究，建立起a和c之間的等量關系;處理離心率的范圍問題也可以從數和形兩方面考慮，結合橢圓上點的橫（縱）坐標本身或橫（縱）坐標引起的其他線段長度（如橢圓上點到焦點的距離、到準線的距離）的限制范圍，建立起a和c之間的關系式，進而求解。
作者單位：江蘇省南京市第九中學
