如何求解幾何體的表面積與體積

解決幾何體的表面積、體積、三視圖與球體體積問題是每年必考的熱點問題，主觀題與客觀題都有，大多數是以三視圖知識為鋪墊，通過三視圖揭示幾何體的結構特征計算幾何體的表面積、體積。下面具體分析。

一、以幾何體與球的內接或外切關系為背景確定幾何體的表面積與體積

例1 如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC ≌ △ABC，∠PAC=∠ACB=90°，PA=2，AC=2√2，則三棱錐P-ABC外接球的體積為（

）。

A.32π/3

B.38π/3

C.14π

D.l6π

分析：求解幾何體的表面積、體積的問題主要集中于棱柱、棱錐與球，因此，解決好這類問題首要的任務是準確熟記公式。重點題型為球與幾何體的內接與外切問題。

點評：求幾何體的表面積與體積的思路如下。（1）求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉化為平面問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的出發點。（2）對于不規則幾何體求表面積，一般是把所給的幾何體分割成柱、錐、臺體，然后再求這些柱、錐、臺體的表面積，最后通過求和或作差獲得幾何體的表面積。

二、以三視圖為背景求解幾何體的表面積與體積

例2如圖3所示，是某幾何體的正視圖（主視圖）、側視圖（左視圖）和俯視圖，則該幾何體的體積為（ ）。

A.18+20π

B.24+16π

C.32+12π

D.6+20π/3

分析：解答這類

圖3問題的思路一般是先識別三視圖，確定三視圖所對應的幾何體;再求解該幾何體的表面積或體積。

解：由三視圖可知，該組合體為如圖4所示的幾何體，其中后半部為一個半圓柱，前半部為一個放倒的四棱錐。由圖中所給數據可得圓柱底面的半徑為2，放倒的四棱錐的底面積為4×6=24，高為4，故該組

合體的體積為v= v半圓柱+v四棱錐=1/2×6×π×2²+1/3×4×24=32+12π。答案為c。

點評：（l）根據三視圖確定幾何體時，應當通過三視圖明確幾何體的整體關系，但是又要注意確定特定的線與面，即要把局部與整體綜合起來。（2）解答三視圖與幾何體的體積、面積的交匯題型時，首先要通過三視圖明確幾何體的直觀圖，再利用題設條件求解幾何體的體積、面積。同時又要注意通過三視圖還原的幾何體的直觀圖的準確性。

作者單位：山東省巨野縣第一中學