構建基本模型解決中學銳角三角函數的實際問題

銳角三角函數是中學數學知識體系的重要構成部分，也是學生學習的重、難點。學生在解決銳角三角函數的實際問題時，總是出現這樣或那樣的錯誤。雖然學生通過學習銳角三角函數的概念，有了一定的知識基礎，但在具體的實際問題中如何構建直角三角形，并根據已知條件選擇恰當的銳角三角函數，還是有一些困難的，易混淆，也易出錯[1]。

利用銳角三角函數和勾股定理的知識綜合解決實際生活中的問題，可以提高學生分析問題、解決問題的能力，還可以通過這樣的方式，將數形結合的數學思想方法傳遞給學生。

下面列舉三個基本模型，以幫助學生解決銳角三角函數在實際生活中的應用問題。

一、構建一個直角三角形模型

根據題意構建含已知角的直角三角形，把題目中的已知和未知有效地溝通起來。

例1如圖1，某公園人口處原有三級臺階，每級臺階高為18 cm，寬為30 cm，為方便殘疾人通行，現將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現設計斜坡BC的坡度為1/5。求AC的長度。

點評：這道題是考查解銳角三角函數的實際應用即坡度問題，注意掌握坡度的定義，注意數形結合思想的應用。通過輔助線（作高線）的作法，構建出直角三角形，從而問題得以解決。

二、構建“直角三角形十矩形”模型

如果梯形的內角中有已知角時，一般過較短的底邊作梯形的高，可構建出含已知角的直角三角形和矩形。

例2 如圖2所示，在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿，拉線CE和地面成60°角，在離電線桿6m的B處安置測角儀，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，已知測角儀的高AB為1.5 m，求拉線CE的長（結果保留根號）。

點評：這道題是考查解銳角三角函數的實際應用即仰角俯角問題，注意掌握仰角、俯角的定義，注意數形結合思想的應用。通過輔助線的作法，構建出含已知角的直角三角形和矩形，從而問題得以解決。

三、構建“有公共高的雙直角三角形”模型

如果三角形中，已知兩個角和夾邊求高，以及求其他的邊長的問題，一般通過作高線，可構建出含有公共高的雙直角三角形模型，利用方程的思想方法解決問題。以下兩個模型的最后結果，還可以作為公式加以應用，在解決填空題、選擇題時，可直接代用公式計算得出答案。

如圖3所示，已知△ABC中，BC=a，∠ABC=a，∠ACD=β，求△ABC的高AD。

例3如圖5所示，某數學興趣小組為測量教學樓CD的高，先在A處用高為1.5 m的測角儀測得教學樓頂端D的仰角∠DEG為30°，再向前走20 m到達B處，又測得教學樓頂端D的仰角∠DFG為60°，A，B，C三點在同一水平線上，求教學樓CD的高（結果保留根號）。

點評：這道題考查了銳角三角函數的實際應用，屬于典型的有公共高的雙直角三角形（模型2）的應用，可用模型2的方法解決問題。但由于此題的角度的特殊性，可把已知條件EF的長度轉化到DF，從而把問題放在Rt△DFG中，根據銳角三角函數即可求出DG，從而求出教學樓CD的高。顯然這個方法要比模型2的方法簡單得多。

總之，在解決銳角三角函數的實際應用題時，應把握好銳角三角函數的定義，通過作輔助線，構建出直角三角形，善于識別以上三個基本模型，反復訓練，并靈活地加以應用。但我們解題的時候，也不要盲目地套用模型，注意觀察條件，找到更好的解決方法。

參考文獻：

[1]周曉鳳.銳角三角函數的類型及應用[J].數學大世界（中旬），2019（5）.

作者單位：云南省昆明市實驗中學