淺談鉛垂高法在函數中的應用

摘要：在復習一次函數、反比例函數、二次函數的過程中，筆者發現有一種方法貫穿其中，它不僅在選擇題或填空題中可以快速地判斷是不是函數及自變量的取值范圍，還可以有效地解決一次函數的行程問題，以及反比例函數和二次函數中不規則的三角形面積問題，這個方法就是鉛垂高法。

關鍵詞：函數;一次函數;反比例函數;二次函數;三角形面積;鉛垂高法

在復習函數相關知識的過程中，筆者發現反比例函數和二次函數的綜合題里多數要求三角形的面積，而且是三邊都不與坐標軸平行的三角形面積，一般會采用割補法來求解，但有時采用鉛垂高法會更加方便，并且這種方法也適合解決其他函數問題。現總結如下，以供讀者參考。

一、鉛垂高定理

在數學三角形的概念中是指三角形的一個頂點沿垂直向下畫一條線交于對應的一條邊的長度（另外兩個頂點在水平線上的寬稱為水平寬，有別于邊長），鉛垂高乘以水平寬的一半即為三角形的面積。

如圖1所示，過△ABC的三個頂點分別作出與水平垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）。S△ABC=1/2ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半。

（1）①直接寫出點B的坐標;②求拋物線的解析式。

（2）若P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC，求△PAC面積的最大值，并求出此時點P的坐標。

分析：（2）根據三角形的面積公式，可知△APC的面積無法直接通過底和高算出。若我們過點P作z軸的垂線與直線AC交于點F，則△APC被分成了△APF和△CPF兩部分，所以我們只要算出了這兩個三角形的面積，則△APC的面積就得到了。要計算兩個小三角形的面積，就都可以用PF作為底邊，而它們的高可以通過點A和點C的橫坐標得到。關鍵在于計算PF的值，垂直于x軸的線段的長度等于兩端點中的較大縱坐標減去較小縱坐標。

三、遷移應用

“鉛垂高”的知識不僅可以用在這類問題中，在判斷是不是函數、自變量的取值范圍及一次函數的行程問題中，也可以類比進行應用，同樣可以達到化繁為簡的目的。

1.下列曲線中表示的是函數的是（

）。

點撥：這兩道題目不利用“鉛垂高”知識進行求解完全可以解決，如果會利用“鉛垂高”的知識求解，則更為直觀明了。

四、結束語

通過上面這些例子不難看出，鉛垂高法可以把所學知識豐富聯系起來，幫助學生理解數學，所以說此方法是我們認識問題和解決問題的一個重要工具。在數學中通過一些典型例題的反思和拓展，可以優化學生的數學思維，開拓學生的解題思路，提高其分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]鄧文忠.怎樣確定斜三角形面積計算中的水平寬、鉛垂高[J].數理化學習（初中版），2015.

[2]楊路，鉛垂高在函數問題中的應用價值[Jl.中小學數學，2016.

作者單位：廣東省惠州市惠陽區永湖鎮永湖中學