解析數學期望兩考點

離散型隨機變量的數學期望的求法是每年各省高考題考查概率統計必考的一個內容，所以熟悉其題型、摸透其考查方式是很有必要的。

考點一、基本題型——確定隨機變量分布列不設防

求離散型隨機變量的數學期望的關鍵是確定隨機變量的分布列，如果隨機變量取值時所對應的概率值較容易求出，則這種題屬于較容易的題型。

例1“過橋米線”是云南人民一種非常喜愛的餐飲食品，在云南某地區“過橋米線”分為A，B，C，D，E五種品牌的店，其中A品牌店40家，B品牌店30家，C品牌店25家，D品牌店5家。

（1）為了加強對食品衛生的監督管理工作，該地區的食品安全管理局決定對這100家“過橋米線”專營店采用分層抽樣的方式進行抽樣調查，被調查的店共有20家，則B，C品牌店各應抽取多少家？

（2）為了使經營更豐富，更具吸引力，所有40家A品牌店舉辦優惠活動：在一個盒中裝有形狀、大小相同的4個白球與6個紅球。顧客可以一次性從盒中抽取3個球，若3個球均為紅色則打五折，2紅球1白球則打八折，1紅球2白球則打九折，其余情況沒有折扣。設所抽取的紅球的個數為X，求X的數學期望。

考點二、與統計知識相結合——側重隨機變量概率值的求法

許多考查數學期望的主觀綜合題，其背景往往不是單純求概率值套公式得出數學期望值，而是以其他知識為背景，通過知識交匯的形式來考查求解數學期望，而這些交匯知識最多的是統計知識，比如頻率分布直方圖、線性回歸及正態分布等。

例2某高中學校為了解高二學生數學的學業水平達標情況，對全體高二學生進行了一次模擬考試，成績出來后進行了分析，測試成績X服從正態分布N（70，σ2）（滿分為100分），且P（X<60）=0.1，P（X≥90）=0.04，現從高二學生中隨機抽取3人。

（1）若事件A=“抽取的3位同學的數學成績在區間[70，80），[80，90），[90，100]內各有1位”，求P （A）。

（2）若抽到的3位同學數學成績在區間[60，80]內的人數為ξ，求隨機變量∈的分布列和數學期望。

解析：（1）由題知，P（70≤X<80）=1/2一P （X<60） =0.4，而P（X≥90）=0.04，所以P（80≤X<90） =0.1 0.04一0.06，所以P （A）=A3×0.4×0.06×0.04=0.005 76.

（2）因為P（60≤X≤80） =1- 2P （X<60）=0.2，所以ξ服從二項分布B（3，0.2），且ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）=0.8³=0.512，P（ξ=1）=3×0.2×0.8²=0. 384，P（ξ=2）=3×0.2²×0.8=0.096，P（ξ=3）=0.2³ =0.008，所以ξ的分布列如表1所示，ξ的數學期望為E（ξ）=3×0.2=0.6。

總之，統計知識與概率的交匯為目前高考考查概率主觀題型的熱點，所以同學們在平時的訓練與學習中，要側重于統計知識與概率的交匯題型。

作者單位：河北省青縣第一中學