Buck-Boost變換器斷續模式下的分數階建模與分析

胡旭旭　范秋華

摘 ?要： 在對Buck?Boost變換器運行于電感電流斷續模式下的工作特性進行精確分析時，考慮到實際電感和實際電容本質上是分數階的事實，建立該模式下變換器的分數階數學仿真模型并進行研究。首先，根據分數階微積分理論推導出變換器的分數階狀態空間模型以及傳遞函數;然后，基于改進的Oustaloup分數階微積分濾波器近似算法封裝分數階積分模塊，并在此模塊基礎上構建變換器的分數階數學仿真模型;最后，在Matlab/Simulink環境下，進行數值仿真。仿真結果表明，相較于整數階模型，分數階數學仿真模型能夠更加精確地描述Buck?Boost變換器運行于電感電流斷續模式下的工作特性。

關鍵詞： 分數階微積分; 分數階建模; Buck?Boost變換器; 斷續模式; 數值仿真; 對照分析

中圖分類號： TN710.9?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）24?0126?05

Fractional?order modeling and analysis of Buck?Boost converter in

disdiscontinuous conduction mode

HU Xuxu， FAN Qiuhua

（College of Electrical Engineering， Qingdao University， Qingdao 266003， China）

Abstract： The fractional?order mathematical simulation model of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode is proposed and researched based on the facts that the actual inductance and capacitance are essentially fractional?order to accurately analyze the operating characteristic. The fractional?order state space model and transfer function of the converter are derived based on the fractional?order calculus theory， and then the fractional?order integral module is encapsulated by means of the approximation algorithm based on the improved Oustaloup fractional calculus filter， on which the fractional?order mathematical simulation model of the converter is built. The numerical simulation is carried out on the Matlab / Simulink. The simulation results show that， in comparison with the integer model， the fractional?order mathematical simulation model can describe the operating characteristics of Buck?Boost converter in the discontinuous conduction mode more accurately.

Keywords： fractional calculus; fractional?order modeling; Buck?Boost converter; discontinuous conduction mode; numerical simulation; contrast analysis

0 ?引 ?言

分數階最早是作為研究半階的衍生工具被提出。1823年，阿貝爾首次應用了分數階微積分[1]。分數階微積分主要是作為研究任意階數的微積分而存在，其以往的整數階微積分僅為分數階的一個特例。由于缺乏對微積分方程離散化問題的求解方法和實際工程應用對其研究背景的支撐，早期針對分數階的研究主要集中在數學領域，進行純理論研究。隨著計算機軟件、硬件以及各種離散化算法的快速發展和自動化控制領域對控制需求的迅速增加，尤其是20世紀80年代以來對線性和非線性離散化問題的研究，使針對分數階的微積分有了更多離散化求解方法。從一些實際例子中可得知，只要動態系統具有分布參數，就可以使用分數階控制[2]。此外，微分器或積分器中所具有的分數階性質，也使得許多實際系統中建立的分數階數學模型相較于整數階數學模型更為精確，更能準確地反映系統的本質[3]。對實際電容、電感進行的大量理論研究和實驗結果都表明，實際的電容、電感在本質上都具有分數階性質[4]。

作為開關功率變換器中不可或缺的電路元件，電感和電容一直是研究重點。但是，長期以來，在針對DC/DC變換器工作特性的研究過程中，所采用的離散建模法和狀態平均建模法[5]，均普遍建立在實際的電感、電容是整數階的基礎上，其結果僅能粗略描述變換器的工作特性。因此，建立相應的分數階數學仿真模型，是當前針對DC/DC變換器工作特性精確化分析的熱門方法。盡管有些學者做過分數階微積分建模方面的研究，但所做的研究還不能夠完全推廣到所有DC/DC變換器，一些理論還需進一步完善。國內現有針對Buck?Boost變換器的分數階研究中，文獻[6]和文獻[7]分別推導了連續導通模式和偽連續導通模式下的分數階狀態空間平均模型及與輸入輸出相關的各類傳遞函數，建立了基于分數階的數學仿真模型。但由DC/DC變換器斷續模式下運行模態的變化，使得文獻[6]和文獻[7]中所推導的狀態空間模型和各類傳遞函數以及所建立的數學仿真模型均不能直接使用。同時由DC/DC變換器斷續模式下運行模態的增加可得，電感電流斷續模式下的Buck?Boost變換器應具有更加復雜的電路拓撲和更為獨特的運行狀態。

根據圖3a）的電感電流波形圖，可明顯判斷出Buck?Boost變換器運行在電感電流斷續模式下。同時測量出[ΔiL]=3.127 6 A，[iLmax]=3.127 6 A，[D2]=0.1。根據圖3b）可測量出[v0]位于78.18～78.21 V之間。與此同時根據式（18）和式（17）可分別計算出[ΔiL]=[iLmax]=3.127 7 A，[D2]=0.101 2，[V0]=78.192 1 V。可見，分數階數學模型的數值仿真結果與理論計算結果保持基本一致，從而驗證了本文對分數階Buck?Boost變換器理論分析和建模的正確性。取[α=1]，[β=1]時，此時的分數階積分模塊的功能與整數階積分模塊的功能一致，因此，可直接采用整數階積分模塊來描述DCM Buck?Boost變換器，整數階的DCM Buck?Boost變換器的仿真模型如圖4所示。

同樣根據文獻[12]中用于判斷Buck?Boost變換器電感電流連續與否的臨界條件，整數階臨界負載電阻為R=138.888 9 Ω。當保持取R=500 Ω不變時，Buck?Boost變換器仍可穩定運行于電感電流斷續模式。當變換器運行達到穩態后，電感電流[iL]波形和輸出電壓[v0]波形見圖5a）和圖5b）。

根據圖5a）可測量出[ΔiL]=0.320 5 A，[iLmax]=0.320 5 A，[D2]=0.316 0。同時根據圖5b）也可測量出[v0]在25.28～25.31 V之間。而根據式（17）分別計算出[V0]=25.298 0 V，[D2]=0.316 2;根據式（18）計算出[ΔiL]=[iLmax]=0.320 0 A。可見，整數階模型的數值仿真結果與理論計算結果保持基本一致，從而進一步說明了本文DCM Buck?Boost變換器分數階的理論分析和建模的正確性。不同階次時的輸出參數見表1。

通過對以上結論分析可得，當[α=1]，[β=1]時，對比得到的結果與[α]=0.8，[β]=0.8時得到的結果，[ΔiL]，[D2]以及[V0]都有了明顯的變化。特別是，通過對圖3a）和圖5a）以及表1中D2的分析可發現，分數階電感電流的斷續時間[（1-d1-d2）Τ]隨著實際電感分數階階數的減小，會出現明顯的增大。而對于輸出電壓，雖然根據圖3b）、圖5b）可發現輸出電壓并沒有出現較大的紋波，但根據表1中的輸出參數可以發現，輸出電壓的幅值隨著分數階階數的減小，出現了明顯的增加。這就表明：對于本應使用分數階模型（[α<1]，[β<1]）進行仿真分析的DCM Buck?Boost變換器，如果繼續使用整數階模型（[α]=1，[β]=1）進行仿真分析，不僅在[ΔiL]，[D2]以及[V0]等方面出現明顯的誤差，甚至可能得出錯誤的結論。可見，為能夠精確的描述Buck?Boost變換器運行于斷續模式下的工作特性，必須要在實際的電感、電容是分數階的基礎上，建立分數階形式的數學仿真模型。

4 ?結 ?語

本文根據實際的電感、電容在本質上是分數階的事實，建立了Buck?Boost變換器運行于斷續模式下的分數階數學仿真模型，并對其工作特性進行精確分析。通過對其理論分析和仿真結果的對比可知，在實際的電感、電容均具有分數階性質的基礎上，若將繼續采用以往的整數階建模法來粗略近似地描述DC/DC變換器的工作特性，將會造成較大誤差。此外，由于DC/DC變換器在斷續模式下所具有的運行模態可知，連續模態下的仿真模型不能直接應用到斷續模態。因此，若要對Buck?Boost變換器運行于斷續模態下的工作特性進行精確分析，應直接建立斷續模式下的分數階模型。本文建立的DCM Buck?Boost變換器分數階模型，仍然還存在電感電流紋波較大、帶負載能力較弱等實際問題。

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作者簡介：胡旭旭（1993—），男，山東濟寧人，碩士研究生，研究方向為非線性控制系統。

范秋華（1971—），女，河北邢臺人，碩士，副教授，研究方向為儲能元件與系統、非線性電路與系統。