基于有限差分法的上證50ETF期權定價研究

彭文 許栩

摘要：本文圍繞歐式看漲期權定價模型的有限差分法展開研究討論。通過變量代換把Black-Scholes方程轉化為拋物型偏微分方程，選擇顯式和隱式兩種主要格式進行討論。利用建立網格、離散化變量、從低時間層開始的逐次運算，不斷求出下一層的網格點數值。同時，得出在網格比滿足一定條件下，差分格式數值結果滿足穩定性的結論。最后以行權時間分別在2020年4月、5月的華夏上證50ETF認購期權開盤價作為基礎數據，進行期權定價的有限差分方法數值算例，得到有限差分格式比經典Black-Scholes模型的定價結果更準確、更符合現實生活中金融市場價格的結論。

關鍵詞：歐式看漲期權定價 ?有限差分方法 ?Black-Scholes方程

一、引言

期權作為一種基礎金融工具，具有規避風險、價格發現和風險投資等功能，在金融市場及金融交易中扮演著重要角色。在期權市場中，期權定價是一切交易的基礎，沒有合理的定價方法，便不能進行高效快速地交易結算。1973年，經典布萊克-斯科爾斯方程的提出打開了期權定價的大門，之后學者們圍繞其方程的缺陷對微分方程進行創新，研究其穩定性等性質，更積極地將理論模型應用到實際金融產品的定價以及模型檢驗。2015年2月，證監會準許上證50ETF期權進入場內交易，其具有規模大、流動性好、跟蹤誤差相對較小等特點，是中國優質資產的代表。上證50ETF至今已穩定運行了1800多天，解決了中國長期價值投資的難題。ETF期權是標準化的期權合約，標的物是交易型開放式指數基金（ETF）。上證50ETF有認購和認沽兩種期權，合約單位10000份，到期日分別是當月、下月和之后的兩個季月。本文通過有限差分方法，對上證50ETF的定價進行了研究。

二、Black-Scholes模型方程的轉化

期權標的資產是股票，且假設股票價格的變動是離散的，標的資產的價格（或標的資產指數）在真實市場中，若忽略開市之后的股票價格跳躍，其幾乎不太可能隨時間一起波動，甚至可以認為它是連續的。20世紀70年代，布萊克（Fisher Black）、斯科爾斯（Myron Scholes）和默頓（Robert Merton）[1]推導出標的物為連續變化情況下的期權定價模型，該公式為Black-Scholes模型，是金融經濟學中的經典模型之一。為了表彰他們在該領域做出的貢獻，Scholes和Merton于1997年被授予諾貝爾經濟學獎。遺憾的是Black在在評獎的兩年前去世，否則他也理應一起獲得此殊榮。Black-Scholes模型成立的前提有如下幾條：

（一）推導過程采用方法為連續復利;

（二）投資者可以隨意以無風險利率借貸;

（三）不存在無風險套利契機;

（四）可以任意買多和賣空無限制數額的標的資產;

（五）交易無摩擦成本;

（六）金融基礎資產價格變化遵守幾何布朗運動，其帶有固定漂移率和波動率都是固定的;

（七）股票不付息;

在靜態情況下，Black等人推導出了歐式期權的定價公式，分別為：

歐式看漲期權當前價格：

歐式看跌期權當前價格：

其中，，S0是標的資產當前價格，K為期權行權價格，r為年無風險利率，σ是標的資產價格年波動率，T為到期時間，N（x）為標準正態分布的累積概率分布函數。通常帶入x的數值后通過查表或在Excel中運用NORMSDIST命令計算獲得，C0和P0則分別是經Black-Scholes模型計算得到的歐式看漲和歐式看跌期權的當前理論價格。

Black-Scholes微分方程是一個較為復雜的變系數微分方程，我們難以直接求解，需要通過巧妙的變量代換把它轉化為較簡單的拋物型方程。

（二）差分格式穩定性討論

筆者將對差分格式的穩定性問題展開討論。使用有限差分格式進行運算時，計算步驟是依據時間層漸次推展的。比如，利用第m層上計算出來的數值vmn，我們可以進而對第m+1層上的vnm+1進行計算。所以，在求出vmn時的舍入誤差（m=0的時也有這種情況，但這時的誤差是由于初始數據不準確導致的），勢必對vnm+1的計算結果有所影響。故此，需要剖析誤差擴散的情形。我們嘗試控制誤差的影響不至于逐漸變大，甚至改變了有限差分格式精確解的準確性，以此為目的展開穩定性問題的討論。假如誤差的影響逐漸變大，甚至差分格式的精確解完全被覆蓋，筆者稱這種差分格式是不穩定的;反之亦然，假如我們可以人為消除誤差的影響，差分格式的解大體上都能計算得出，便可以稱這種差分格式是穩定的差分格式。簡而言之，討論差分格式的穩定性即指在實際運算當中，是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。

討論差分格式的穩定性即指在實際運算當中，是否可以使近似解逼近差分方程的精確解。

借助MATLAB統計軟件中的blsprice函數求得Black-Scholes模型歐式看漲期權理論價格，使用自編腳本程序通過有限差分方法對歐式看漲期權進行定價。由wind金融資訊終端獲得4月20日上證50ETF期權的真實市場價格。

五、結 ?論

本文主要對有限差分格式的穩定性和收斂性展開了研究和討論，同時也使用有限差分格式和Black-Scholes期權定價模型，對上證50ETF期權進行了定價對比，總結出以下結論：

通過對經典Black-Scholes期權定價方程的求解區間進行離散化的網格劃分，推導出對應的有限差分方程和計算方式。對穩定性和收斂性展開討論，得出在網格比α滿足一定情況下，數值結果滿足穩定性的結論。本文通過實證研究進行數值實驗，比較了兩種不同定價方法的數值解，即有限差分格式和Black-Scholes期權定價方程，并與實際市場價格進行了比較，證實了有限差分方法具有穩定性和收斂性且比經典B-S模型定價結果更準確。

參考文獻：

[1]Black，F.and Scholes，M.（1973）The Pricing of Options and Corporate Liabilities.The Journal of Political Economy，81，637-654.

[2]李倩，鄭潔.歐式看漲期權定價中差分格式的穩定性分析[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2013，29（03）：21-25.

[3]康穎.歐氏看漲期權定價的有限差分數值解法[D].上海大學，2015.

基金項目：由中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助（項目批準號：2652018054）。

作者單位：中國地質大學（北京）