在推理中深度理解數(shù)學模型

臧曉梅

教學內容：人教版小學數(shù)學五年級上冊第七單元“數(shù)學廣角——植樹問題”。

課前思考：教材通過對現(xiàn)實生活中植樹問題的研究，引導學生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律，進而抽象出這類植樹問題的數(shù)學模型。在平時的教學中，我們常常看到，在對三種植樹情況（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽）進行分析，建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關系后教學就止步了。上課教師之所以這樣處理，有一定的原因：從知識難易上看，植樹問題的難度比較大，在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識，在一節(jié)課上能學完三種類型已經(jīng)是大容量教學了;從承載的思想方法上看，化歸、數(shù)形結合、一一對應、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想，不易做好有機整合。基于上述考慮，筆者重新進行了設計，力求體現(xiàn)對數(shù)學模型的有效建構，在具體的教學實踐中也取得了很好的教學效果。

教學過程：

一、情境導入，初步感知三種類型

1.聯(lián)系實際，理解間隔

師：（讓前后兩位學生起立）大家看，這兩位同學之間產(chǎn)生了一個……

生：間隔、空。

師：我們一般說成一個間隔。

（師依次讓學生說出這樣站立的4人、100人分別有幾個間隔。）

師：如果產(chǎn)生了這樣的101個間隔，你知道有多少名學生嗎？

生：有102名學生。

2.引出課題，感知三種植樹方式的存在

師：這節(jié)課，我們要研究和間隔有關的問題，數(shù)學上稱為植樹問題。（師板書，出示下圖。）

師：植樹節(jié)到了，少先隊員在公園內通往涼亭的小路一側義務植樹，小路全長45米，每隔5米栽一棵，由五年級三個班完成，按班級順序每班各栽15米，請你算一算每班各栽了多少棵？

【意圖】借助“三個班級各栽了多少棵”這個大問題引出了在直線上植樹的三種類型，讓學生初步感知到解決植樹問題的現(xiàn)實意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹類型相比，這樣更便于學生在后續(xù)的探究中進行分析、比較，讓學生能從整體上理解把握。

二、主動探究，感悟模型

1.學生嘗試解決

師：三個班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、畫一畫。

（學生在線段圖上用畫點或畫小樹的方式表示出要栽的棵數(shù)，師選擇有代表性的作品投影。）

師：你能看懂這些方法嗎？

（學生對15米處、30米處栽的樹歸哪個班產(chǎn)生了爭執(zhí)，對45米處栽不栽有疑問，師引導學生結合題意和圖去理解，統(tǒng)一認識。）

2.命名三種植樹類型

師：為了便于我們進一步研究，老師把三個班級的植樹情況單獨列了出來，請看屏幕。

師：請你觀察，這三幅圖有什么不同？

生：栽的棵樹不同。

生：栽的方法不同。

師：那你能給它們起個名字嗎？

（根據(jù)學生發(fā)言，師總結出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽，并在圖上顯示出來。）

3.猜測棵數(shù)和間隔數(shù)關系

師：觀察這三種植樹方式，相同點在哪里？

生：間隔數(shù)都是3，每班都栽了15米。

師：（指著圖）3個間隔4棵樹，3個間隔3棵樹，3個間隔2棵樹，看來，棵數(shù)和什么有關？

生：和間隔數(shù)有關。

師：在不同的植樹類型下，棵數(shù)和間隔數(shù)又會有怎樣的關系呢？我們進一步來研究。

【意圖】學生對15米、30米、45米處的“爭執(zhí)”，是學生在初步感知后對三種植樹類型的進一步理解。在學生統(tǒng)一認識后，教師又把三種類型分開呈現(xiàn)，讓學生結合自己的理解給予命名，并引發(fā)學生進一步思考：為什么同樣的15米，三個班栽的棵數(shù)卻不一樣呢？不同植樹方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關系呢？核心問題就此啟動了起來，學生的探究由表面轉向深入。

三、對比分析，建立模型

1.任選一種小組內研究

師：小組內任選一種類型解決，看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關系。（出示合作要求：（1）任選一種類型，解決后也可以想想其他類型如何解決。（2）畫出線段圖并列出算式。）

2.匯報交流，深化理解

師：老師先調查一下，你選擇了哪種植樹情況來解決的？（研究兩端都栽的有2個小組，只栽一端的有9個小組，兩端不栽的有1個小組。）

師：那就先請研究只栽一端的這個小組前來匯報。

生1：大家好，我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15米除以5米得到3個間隔，要栽3棵，發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關系，同學們有什么疑問嗎？

生2：15米除以5米得到的是3個間隔，怎么是3棵樹呢？

師：（匯報學生剛要解釋，師示意先等等）這個問題問得好啊，明明是3個間隔嗎？怎么成了3棵樹呢？（全班學生思考后指名學生發(fā)言。）

師：（對著生1）他們的回答說出了你的意思了嗎？還是你來說說吧！

生1：這里雖然是3個間隔，從圖上看也是3棵數(shù)。（還有部分學生不明就理。）

師：給你個建議，如果你能在圖上畫一畫、指一指大家就更明白了。

（生1畫出箭頭，并說明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對應的關系。）

師：大家明白了嗎？根據(jù)一一對應，這里的單位“個”可以改成什么了？

（生1把“個”改成“棵”。）

【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式？這并非意外，而是教師意料之中的事情。因為上課的班級是5年級2班，學生對自己班級的認同度比較高，才會做出這種選擇。更重要的是，通過對這種植樹方式的深度探究，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗，為學生用這個發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。