在直觀比較中理解抽象概念

喻菊

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力。2019年9月，在南昌市西湖區小學數學教研活動中，小學數學特級教師吳正憲老師現場執教了“面和周長”這節課，給筆者留下深刻的印象。“面積”和“周長”是低年級學生極易混淆的兩個幾何概念，人教版教材在編排時是分開編排的，“周長”內容安排在三年級上冊，“面積”內容則安排在三年級下冊。教學中，吳老師打破常規，將“面”和“周”兩個概念放在一起教學。通過“看—找—說—議”等課堂實踐活動，充分調動學生多種感官理解“面”和“周”的含義，從而建立“面”與“周”的豐富表象。

【片段一】循序漸進，具體呈現：面是面，周是周

師：親愛的同學們，我是吳老師。今天在這兒和大家聊一聊數學的話題。你們在這個教室里看到了黑板，黑板上你又看到了什么呀？

（吳老師在黑板上貼不同顏色不同形狀的卡紙）

生：我看到了黃色、粉色、綠色。

師：哦，他看到了顏色，你呢？

生：我看到了長方形、三角形、正方形。

師：剛剛有的同學一眼就看到了黃色、粉色、綠色，這是什么？

生：顏色。

師：還有的同學看到的是長方形、正方形、三角形，這是什么？

生：圖形形狀。

師：有人看到了它的顏色，有人看到了它的形狀。

師：假如我拿起一本數學書，你首先看到了數學書的什么？

生：封面、形狀、顏色、圖形、數字……

師：剛剛說的顏色，黃色、粉色、綠色，還有你們說的數字都在哪呀？

生：它的表面。

師：我聽懂了，在這些圖形當中，首先映入你們眼簾的是什么？

生：面。

師：字也在面上，顏色也在面上。還有新的發現嗎？你還能在這個長方形上看到什么？

生：看到它的周長。

師：周長在哪里？你來指一指。

（學生用手指繞長方形一周）

生：周長就是這個長方形的邊兒。

師：真棒！

師：你摸摸這兒（長方形的長）有邊嗎？

生：有。

師：這兒（長方形的寬）有邊嗎？

生：有。

師：數一數在這個圖形里你摸了幾條邊？

生：4條邊。

師：假如同學們以這兒為起點，從這兒（換一個端點）開始摸，幾條邊？

生：4條。

師：你能順著摸4條邊嗎？

師：從起點又回到了起點。你正好摸了這個圖形的什么？

生：一圈、周長。

師：有人說這是什么？

生：一周、一圈、周長……

師：你真了不起，一圈在我們數學課上就叫一周。

師：同學們在這個圖形上看到的顏色，它在哪兒了？

生：面上。

師：我們來看看這個面。

師：有些同學看到的是面，有些同學卻看到了邊，從而找到了它的一周，這可不叫周長。什么叫周長呢？一會兒你們一定有新的體會。

師：今天我們這節課就和同學們一起來聊聊“面與周”。

師：大家伸出手來，跟我一起來摸摸它的面，摸的時候得把手張成一個大巴掌。

（學生摸面）

師：再摸摸它的周邊。

（學生摸周邊）

師：用你們的話說說“面”是什么樣的，“周”又是什么樣的。

生：面長這樣。

（學生用筆比畫）

師：你能用自己的話說嗎？

生：面就是平平的一大塊。

師：那黑板呢？地板呢？

生：也是平平的一大塊。

師：你再看看邊是什么樣的，想象一下。

生：直直的。

師：我這兒畫了一個很怪的圖形，它有邊嗎？

（學生上臺用手指繞圖形的一周，指出圖形的邊）

師：這一周也是它的什么？

生：周長。

師：它是直直的嗎？

生：不是。

師：一周可以是直直的也可以是彎彎的。它是什么樣的？有沒有人能想象出來？

生：像一條線。

師：這條線會……把它給……

生：很長、很彎，包住了。

師：這條線是細細的、長長的，那面兒是什么樣的？

生：平平的。

師：周不僅長而且很細，是很長的一條邊。我們把它想象成很細的一條線。

師：面和周長是一樣的嗎？

生：不一樣。

師：是的，面是平平的一大片，周是細細的一條線。

師：所以吳老師說面是面，周是周。

師：周和面一點聯系也沒有嗎？面在哪里？周在哪里？

生：有面的地方就有邊，有邊兒的地方就有面。

師：本來面是面、周是周，你這么一說，面和周誰也離不開誰。

師：有面的地方就有周，有周的地方就有面。

師：面在哪兒？誰能說出來？

生：周的里面。

師：那周呢？

生：周在面的外面。

……

【賞析】圖形的認識過程遵循“整體感知—定性描述—定量刻畫”三個階段。在教學中，學生已經對平面圖形有了一個整體感知，也了解了長方形、正方形的特征，發展到對長方形和正方形定量刻畫的階段。“面”與“周”就是圖形定量刻畫的對象，所以清晰地建立面和周的概念就顯得尤為重要。

教育學家烏申斯基說過：兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維的。在教學中，吳老師用“色”凸顯“面”，用“邊”理解“周”，順應兒童認知心理發展規律。同時，吳老師還讓學生用自己的語言對“面”和“周”的特征進行描述，“面是平平的一大片”“周是細細的一條線”，借助兒童的語言幫助理解、記憶抽象的概念，較好地幫助學生建立“面”的概念、“周”的概念。但是，單獨的概念不是我們教學的最終目標。通過概念的學習，要不斷豐富學生的認知結構，把單一的概念變成有聯系的概念，把一些有聯系的概念變成結構化的、系統性的概念。吳老師在學生理解、認識了“面”和“周”的概念之后，卻峰回路轉來一句：“它們一點聯系也沒有嗎？”從而深度挖掘“面”和“周”之間的聯系，幫助學生建構知識體系，使之結構化、系統化。

【片段二】直觀比較，深度理解：“周”和“周長”不一樣

師：你能從這兒起，用手指來指一指正方形的一周嗎？

（學生用手指繞圖形一圈，回到起點）

師：接下來老師就要把這一周的邊線從它身上剝下來。

師：這是什么點？

生：起點。

師：（剝下一條邊的邊線）這是一周嗎？

生：不是。

師：回到哪里就叫一周呢？我繼續走，你們說停我就停。

師：我現在把這一周的邊線剝下來，這是它的起點，這是它的終點。這條邊線就是正方形的什么？

生：一周、周長。

師：你知道它有多長嗎？我們只能說它是長方形一周的邊線。要知道它有多長，必須做什么？

生：量一量。

師：拿什么量？

生：尺子。

師：量誰？

生：線。

師：這是一條普通的線嗎？

生：是正方形的一周。

師：我來量一量，量完了以后請這個同學幫我記錄下來。

師：先用零刻度線對準它的起點，這正好是多少？

生：80 cm。

師：它是一條80 cm的線段，這條線段是從正方形一周剝下來的，它就是正方形一周的長度，我們就叫它是正方形的什么？

生：周長。

師：周長和周是一回事嗎？

生：不是。

師：周和周長是兩回事兒。周指的是一周的邊線，周長是這一周的邊線有多長。我們來量一量，得知道量誰？

生：正方形的周。

師：我們要找好測量的工具，還要確定好度量的單位。我們是用什么單位來量？

生：用1 cm單位來量的，有80 cm。

【賞析】“周和周長是兩回事兒”，這是吳老師第二次打破了常規。記憶中，“周”就是“周長”，它們都表示為一周的長度。然而這節課吳老師告訴我們“周是周，周長是周長”，吳老師指出了兩者的不同，對于概念的本質，不混淆、不模糊，讓學生學得更明白。在教學“周”的過程中，吳老師沒有用信息化手段，而是使用傳統教具，領著學生剝邊線，原本靜態的教具立馬鮮活起來，“周”是“線”的認知就通過“手剝”“眼看”生動地印在學生腦海中，“周”的空間觀念直觀、深刻，在“周長”的教學中吳老師側重讓學生進行度量，注重度量方法的提煉。

【片段三】植入生活，返璞歸真：“大周”“小周”都是“周”

師：我把一個很大的操場的跑道畫下來了，可以嗎？

（教師在黑板上畫一個跑道的示意圖）

師：有一個男孩太胖了，他要鍛煉身體，媽媽要他圍著操場跑道的一周跑一圈。

師：現在他開始跑了，第一次他實在累了，不想跑了，這是一周嗎？

（男孩只跑了操場的大半圈便停下了）

生：不是。

師：能測量周長嗎？

生：不能。

師：第二次他還是從這里開始跑，然后又回來了。

（男孩跑了操場的大半圈后抄近路回到起點）

生：他偷懶了。

師：這是一周嗎？

師：第三次他還從這里開始跑，終于跑回來了。第三次是一周嗎？

生：是。

師：第三次是一周，從起點又回到了起點。第一次不是一周，從起點沒有封閉回去，對不對？

生：對。

師：第二次呢？

生：它是封閉的。

師：它是一周嗎？

生：是。

師：有沒有不同意見？

生：因為他要繞操場一周，可是他沒有跑完，所以不是一周。

師：哦，這個同學有不同的意見，他說要繞操場才是一周，這個同學的說法對嗎？

生：不對，還是一周。

師：它為什么是一周呢？

生：因為他是封閉跑的，還是從起點又回到了起點。

師：真了不起。他是從起點又回到了起點，確實是一周。他不是跑了操場跑道的一周。而是自己圍成了一周，這是小周。操場是一個大周，大周不是小周，小周不是大周。它們都是什么？

生：一周。

【賞析】在教學中，吳老師設計男孩“跑大半圈停”“跑小圈回”“跑整圈”的跑步情境讓學生進一步辨析“什么是周”。學生很清楚地知道“沒有封閉不是周”，但在提問“一小圈”是不是“周”時，學生從懷疑到釋然，認識到“大周、小周都是周”，它們都是“從起點回到起點”。通過變式，幫助學生排除“周”的非本質特征，突出“周”的本質特征。

概念教學是數學教學的難點問題。數學課程標準對于概念的理解內涵是：描述對象的特征和由來，闡述對象和對象之間的區別與聯系。理解周長的概念，學生就要知道它有什么特征，這個概念和其他概念有什么區別和聯系。在這節課中，吳老師引導學生在直觀操作中感知“面”和“周”的概念，在對比分析中清晰“面”和“周”的概念，在變式舉例中內化“周”的概念，從而加深對數學概念的理解。

（作者單位：江西省南昌市灣里區教研室）

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