以學引思，讓學生的思維可視化

田紅梅

數學概念是構成數學知識的“細胞”，是進行數學思維的基本要素。學生掌握正確、清晰、完整的數學概念，有助于他們合理解決實際問題，并進一步學習與之相關的數學內容。反之，若學生對數學概念把握不準確，則會帶來認知上的誤區，更會對后續學習產生負遷移。在教學中，低年級學生知識經驗較少，概念形成自然成為他們學習概念的主要途徑，這是一個形成、內化、建構的完整過程。在此過程中，學生到底經歷了什么，學生的頭腦中發生了什么，是我們必須認真面對并思考的問題。概念教學不是“我說你聽”式的告知，而是要學生一起實踐、一起思考、一起分享，把“不可見”的思維用“可見”的方式呈現出來，共同經歷思維不斷深化、達成一致的過程。下面以“角的初步認識”一課為例，談談筆者的思考。

【教學內容】

蘇教版數學二年級下冊“角的初步認識”。

【教學目標】

1.經歷從現實生活中發現角、認識角的過程，在觀察操作中學會畫角、做角，了解角各部分的名稱，并能初步比較角的大小。

2.培養觀察能力、初步的動手操作能力及合作意識。

3.體會數學就在身邊，從解決問題中獲得成功的快樂。

【教學重點】

讓學生形成角的正確表象，掌握角的各部分名稱。

【教學難點】

讓學生掌握畫角的方法，了解角的大小與兩條邊張開的大小有關，與兩條邊的長短沒有關系。

【教學過程】

一、基于生活，抽象角

師：同學們，紅領巾是什么形狀的？

生：三角形。

師：知道它為什么叫三角形嗎？

生：因為紅領巾有3個角。

師：角是個什么樣的圖形呢？誰能指一指紅領巾的角在哪里？

（學生嘗試指角，指出3個角上尖尖的地方）

師：他指的是角嗎？

生：是。

師（隱去紅領巾，留下3個點）：這是角嗎？

生：這分明是3個點，到底應該怎樣指角呢？

（教師教學生指角的方法，學生再指一指紅領巾的另外兩個角）

師：紅領巾上有3個角，我們身邊還有哪些物體的面上有角呢？

生：數學書、三角尺、桌面、黑板。

師：大家像剛才指的那樣指一個角給同桌看一看。

【思考】教師從學生的生活經驗出發，通過指角活動，引發學生的認知沖突，從而使學生產生自發的訴求：到底應該怎樣指角呢？此時，學生的眼睛里是充滿期待的，教師再將數學語言轉化為學生的語言娓娓道來，既簡明易懂、生動形象，又將角的三要素（頂點、邊、小弧線表示的區域）做了準確細致的描述，角的“樣子”就在學生腦子里初步形成了，為接下來學生進一步認識角做好鋪墊。

二、且行且思，認識角

師：剛才我們指的都是生活中的角，那么數學上的角究竟是什么樣的呢？大家把三角板上的一個角描下來看一看。

（教師把三角板教具固定在黑板上，開始畫角，先畫一條邊，畫一小段停下來）

師：能一直畫下去嗎？

生：不能，再畫就過了。

師：如果這個三角板和黑板都足夠大，能一直畫下去嗎？

生（遲疑）：好像能。

師：的確是可以的，但在數學上我們通常只畫一部分來表示。

（教師畫好角后，三角板留在黑板上）

師：如果老師把三角板拿下來，黑板上留下的這個角的圖形會是什么樣的呢？想一想，把你想象的圖形畫下來。

（學生畫好角，教師取下三角板）

師：能拿下來了嗎？老師畫的角和你們畫的角，哪兒像？

生：我們畫的和老師畫的都有一個尖尖的點。

師：這個點在角的圖形里有它自己的名字，叫“頂點”。

（教師板書：頂點）

師：還有哪兒像？

生：都有兩條直直的線。

師：它們也有名字，叫“邊”。

（教師板書：邊，然后指著黑板上的角告訴學生：兩條邊夾住的這一部分就是角。通常在這里畫一個小弧線做個標記，以后指角的時候就是指這條小弧線）

【思考】從生活中的角到數學上的角，通過“說”“描”“想”“畫”“比”，讓學生感受到“數學上的角”不是憑空冒出來的，而是在自己眼前一步步顯現、明朗起來的，這既是一個學習的過程，更是一種學習的方法。在此過程中，兩個精準的問題引發了學生對“邊”“角”“弧線”的思考，也讓學生的思維由“隱”到“顯”，聚焦角的本質。“能一直畫下去嗎？”這個問題給學生種下了“無限長”概念的種子，為后面學生理解角的大小和邊的長短無關做了鋪墊;“老師畫的角和你們畫的角，哪兒像？”這個問題讓學生的目光從1個角看到2個角、多個角，在自發地、不斷地比較中認識角的組成部分和每部分的特點。

三、動手操作，再現角

師：現在你知道角是什么樣子了嗎？想不想自己動手做一個角？

教師出示材料：小棒、吸管、繩子、釘子板和橡皮筋、圓紙片。出示操作要求：

1.做一做：選擇自己喜歡的材料，單獨完成或與同學合作做一個角。

2.指一指：和同桌指一指所做角的頂點和兩條邊。

3.比一比：哪組的方法最多？

（學生做角，教師巡視，拍視頻，同步展示）

生：我用吸管一折，就得到了一個角。

生：我用兩根小棒做一個角。

生：我在釘子板上圍了一個三角形，它有3個角。

師：有沒有圍出更多角的？

生：我圍的四邊形，它有4個角。

生：我倆用棉線拉出了一個角。

師：如果老師讓你們松手，你倆會松嗎？

生：不會，一松手線就彎了，就不是角了。

【思考】經過前面的學習，角的“樣子”在學生頭腦中已經有了比較清晰的影像，此時做角既是提取角的表象過程，也是內化的知識外顯的過程。在親自動手“重現”角的過程中，學生再次加深了對角的組成及各部分元素特點的理解。同時，在小組合作中材料各異，制作方法各不相同，但大家都做成了角，學生感受到做角的多樣性和統一性，從而抓住知識的本質。采取比賽的方式，也更符合低年級學生的性格特點，激發了學生的學習興趣。

四、步步深入，內化角

1.辨角

師：小兔子聽說同學們今天認識了角，它想請大家幫個忙，愿意嗎？

（PPT出示）你們好！我想請角到家里做客，你能幫我判斷一下哪些是角，哪些不是角嗎？

教師逐一呈現：

師：為什么它們都是角呢？

生：因為它們都有1個頂點和2條邊。

師：這幾個角聽說可以去小兔家玩，可開心了，連蹦帶跳的，還翻起了跟頭（PPT演示這3個角轉一轉、跳一跳）。現在，它們還是角嗎？

生：是，因為還是有1個頂點和2條邊。

師：方向和位置都變了，沒關系嗎？

生：沒有。

教師繼續呈現下列圖形：

學生逐一辨析：彎的，沒有頂點;有一條邊是彎的;沒有頂點。

師：同學們真厲害，不僅幫小兔找到了角，還讓這幾個圖形知道了它們為什么不是角。

2.感受角有大有小

師：3個角終于來到小兔家做客了。我們再來仔細觀察下圖這3個角，它們有什么不同的地方嗎？

生：有的張開得大，有的張開得小。

師：像不像3張小嘴巴？誰最大？誰最小？你們比的是哪里？

生：比的是它們張口的地方。

師：也就是這3條小弧線畫的地方，對嗎？原來這3條小弧線不僅是角的標記，還在提醒我們要關注角張口的大小呢！張口大的，角就大;張口小的，角就小。

（教師板書：大、小）

【思考】在練習環節中，教師巧妙地設計了“幫小兔找角”的問題情境。同樣是練習，此時不是為了解決教師提出的問題，而是有了明確的內需。然而，教師又不局限于解決問題。找角環節的“辨角”，讓學生意識到“角”之所以為角，和其位置、方向沒有關系，而只看其是否有1個頂點、2條邊。如果說前面找角、數角都是依據其共同點，那么找完“同”再找“異”，就不露痕跡地讓學生的視角發生了變化。這一變化，將學生視角轉移到“比大小”上，而“比的是哪里”“原來小弧線在提醒我們要關注角張口的大小”更進一步將角的本質巧妙地揭示出來。看似漫不經心，實則飽含深意，也為下面進一步“比角”埋下伏筆。

五、深入本質，理解角

師：這是剛才這個同學用小棒做的角，它可以活動，也叫活動角。老師給每個同學都準備了2根小棒，拿出來，請你用它做一個活動角。你能做一個比老師這個角小的角嗎？你是怎么做的？

生：讓它的張口小小的。

師：你能做一個比老師這個角大的角嗎？看哪里？

生：角的張口。

師：你能做一個和老師這個角一樣大的角嗎？

師：能直接用眼睛判斷嗎？把你想到的方法在小組里討論一下。

（學生提出可以用重疊的方法比較角的大小，將頂點和一條邊重合，看另一條邊，用這樣的方法和同桌比一比誰做的角大）

師：老師這里也有2個角，紅角和藍角，能看出誰大嗎？

（教師用重疊的方法比較屏幕上的2個角，發現一樣大）

師：可是藍角不服氣，它說，我要長大，我要長得比你大！（課件演示角的邊變長）它這樣一長，就能比紅角大嗎？

生1：的確大了，邊變長了。

生2：沒有，它只是邊變長了，張口還是原來那么大。

師（問生2）：你打算怎樣說服生1？

生2：我們可以用重疊的方法比一比。

（教師演示，發現角沒有變大）

師：紅角也很調皮，它喜歡唱反調，它說，你要長大，我要變小！（課件演示角的邊縮短）紅角真的變小了嗎？

生：沒有，它的張口沒有變。

師：如果藍角的邊再拉長一點，紅角的邊再縮短一點，藍角會不會就比紅角大了？

生：還是不會。

師：你有什么想說的？

生：角的大小和邊的長短沒有關系，和張口的大小有關系。

師：小兔還編了一首兒歌，你能幫它補全了嗎？

小小角，不簡單，

一個（ ）兩條（ ）。

想知我的大與小，

只看（ ）不看（ ）。

【思考】在比角這個教學環節中，教師通過活動角這個媒介，讓學生的感知由表象逐步深化，由操作中的所見所得，逐步過渡到屏幕上的所見所想，再進一步深化到頭腦中的所思所悟，且行且思，學思結合，學生在層層遞進中感受到角的大小與張口的大小有關，與邊的長短無關。最后，教師巧妙地用兒歌收尾，既符合兒童的心理特點，又通過補兒歌練習對角的知識進行了精準提煉。

六、拓展延伸，發現角

師：數字0到9你們一定不陌生吧？大家知道這些數字是誰發明的嗎？

生：印度人，印度人發明了阿拉伯數字。

師：可是你們一定猜不到，阿拉伯數字一開始創造的時候并不是這個樣子的，想看看它們最初的模樣嗎？

（教師出示下圖）

師：有沒有找到我們今天認識的角？分別有幾個角？

師：猜猜看，數字4會有幾個角？

生：4個。

師：數字是幾竟然就有幾個角，好玩嗎？

師：5、6、7、8、9是不是也有這樣的規律呢？老師留給你們課后自己去數一數，好不好？

師：同學們，數字的演變經歷了漫長的過程，數學世界里還有許多有趣的故事，要想知道更多，老師送你們一個法寶——閱讀！

【思考】這節課學習的是角，和數字本來是沾不上半點關系的。然而令學生沒有想到的是，數字中竟然也是藏著角的。教師挖掘出的數學文化帶給學生的觸動也是最大的，從而給學生打開了數學學習的另一扇窗——閱讀。雖然只是點到為止，但已經在學生心里播下了數學閱讀的種子。

（作者單位：江蘇省鹽城市第一小學）

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