基于小波的改進邊緣檢測方法

段紅燕，楊 浩，李世杰，董中華

(蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

0 引 言

邊緣是指圖像中灰度值發生劇烈變化的區域，其中包含著圖像的基本特征信息，對邊緣的檢測是對圖像特征提取、圖像識別和描述的基礎。傳統的一階邊緣檢測算子基于局部模板思想，有Sobel、Roberts、Krish和Prewitt，這些算子實現起來雖然簡單，但因為效果不理想很少有合適的應用場景。二階邊緣檢測算子Canny算子基于最優化理論，LoG算子通過尋找零交叉，具有較好的檢測精度和信噪比，得到了廣泛應用。但在實際應用中，高斯濾波器平滑會造成圖像模糊，Canny算子在閾值選擇時需要人為設置，不具適應性。很多學者為了改善這些不足，進行了大量研究并提出了改進方法。文獻[1]改進自適應中值濾波器來替代高斯濾波器并增加45°和135°方向的梯度模板計算像素梯度，利用二分法查找原理改進Otsu算法計算梯度幅值的高、低閾值，增強了自適應性和抗噪性，提高了算法效率[1]；文獻[2]使用混合濾波器代替高斯濾波器對圖像進行平滑去噪，結合線性邊緣增強與Otsu算法改進傳統的雙閾值算法，避免人為設置高低閾值的局限性，提高了算法的適應性[2]；文獻[3]首先運用復合形態學濾波取代高斯濾波，然后運用Otsu算法進行高低雙閾值的自適應選??；最后連接邊緣并運用數學形態學對邊緣進行細化，改進的算法具有良好的抗噪性能和較好的檢測效果[3]；文獻[4]采用雙邊濾波代替傳統高斯濾波，然后利用小波變換對圖像高頻系數進行放大，同時低頻系數縮小，能夠更好地增強邊緣細節[4]；文獻[5]使用引導濾波對圖像平滑去噪，并對梯度模板的計算進行改進，最后基于一維交叉熵值思想計算出高低閾值，提高了對復雜圖像的檢測能力[5]。提出了一種基于小波的融合LoG與Canny算子的檢測方法。首先對利用小波變換增強原理，增強高頻邊緣細節信息，在LoG算子中，用雙邊濾波代替高斯濾波，去除噪聲的同時提高圖像的保邊性。對于Canny算子，使用改進自適應中值濾波平滑圖像，并通過改進的Otsu計算高閾值，最后通過小波將兩邊緣融合。實驗結果表明，所提算法增強了在去除混合噪聲和保持邊緣完整性和連續性方面的魯棒性。

1 算法原理

1.1 小波變換增強

小波是一種具有時頻局部變化的函數，可以在有限的持續時間和變化的頻率下對信號進行多尺度分析，因而可以同時提供時間和頻率信息。小波變換基本原理是通過對基本函數(母小波)進行伸縮、平移得到小波基來對時變信號進行分解與重構的過程[6]。根據所要分析信號的不同，可以選擇不同的小波基，通過對時移因子和尺度因子的計算可以分析信號在不同頻率范圍內的響應。小波變換增強圖像實質上是對比度的增強，小波變換將圖像分解為低頻和高頻信號，通過對圖像做銳化處理，即突出高頻信號，抑制低頻信號，從而達到圖像增強的目的。小波變換增強圖像原理如圖1所示。

圖1 小波增強原理

由圖1可知，首先對圖像進行小波分解，公式為

(1)

(2)

其中，xα,L為第α級低頻信號，g(k)為低通濾波函數；xα,H為第α級高頻信號，h(k)為高通濾波函數。

分解后分別壓縮低頻和拉伸高頻系數，然后再對圖像進行重構，小波重構公式為

(3)

第xα-1級低頻信號是由第xα級低頻和高頻信號按上式重構而成，其中g(k)和h(k)分別為低通和高通濾波器。經過重構后圖像高頻信號得到增強，將增強后的圖像作為后續邊緣檢測的輸入。

1.2 LoG算子改進

拉普拉斯高斯算子(Laplacian of Gaussian，LOG)是高斯濾波與拉普拉斯的結合，它融合了高斯濾波器和拉普拉斯算子的優點[7]，即將平滑和邊沿結合起來。首先使用高斯濾波器進行低通濾波，抑制噪聲影響，然后在此基礎上用拉普拉斯算子提取邊緣。其表達式為

g(x,y)=(▽2G(x,y)*f(x,y))

(4)

因為這些運算都是線性操作，所以該式又可以寫為

g(x,y)=▽2(G(x,y)*f(x,y))

(5)

其中，g(x,y)為輸出，f(x,y)為原始圖像，*為卷積運算符，G(x,y)為高斯濾波器，▽為拉普拉斯算子。其中高斯函數表達式為

(6)

拉普拉斯算子為

(7)

則LoG算子為

(8)

式中：σ為高斯函數的標準差。

由于高斯濾波器在平滑圖像時會造成圖像模糊，丟失邊緣細節信息，基于此提出用保邊能力更好的雙邊濾波代替高斯濾波。雙邊濾波是一種同時考慮了圖像像素的空間距離差異和亮度差異的濾波器，它在高斯濾波器的基礎上結合了灰度相似性[8]。對以上高斯函數做一些改寫得

(9)

(10)

令h=xj-xi，表示圖像的空間臨近度，m=Ij-Ix，表示圖像的灰度值相似度。則改進后的算子為

(11)

增加了灰度信息后，由指數函數特點知e-f(x)是一個單調遞減函數，當在邊緣附近時灰度差距變大，權重值會減小，濾波效應也會變小，所以對邊緣信息能夠起到更好的保護作用。

1.3 Canny算子的改進

Canny算子基于最優邊緣準則，具體實現過程為：高斯函數平滑去噪，計算圖像梯度，對梯度幅值進行非極大值抑制，雙閾值檢測并對邊緣連接[9]。其中，圖像平滑去噪和高低閾值檢測連接邊緣是最主要的環節，但平滑圖像時的高斯函數的標準差σ以及高閾值Th和低閾值Tl需要人為設置，對于不同的應用場景不具適應性，故針對參數設置對Canny算子改進。

1.3.1 改進自適應中值濾波

相比于高斯濾波器和傳統中值濾波器，自適應中值濾波器具有自適應性，其工作區域是在矩形窗口A內，在去除脈沖噪聲和保護圖像細節方面更有優勢，并且濾波窗口半徑的大小只需初步給定[10]。自適應中值濾波算法的執行過程為：

(1)：若fmin

(2)：若fmin

1.3.2 自適應高低閾值獲取

使用Canny算子提取邊緣時，高低閾值的選取會直接影響到邊緣檢測的效率。閾值選的過高會丟失邊緣信息，閾值選的太低偽邊緣就會增多，且在這個過程中需要人為參與，不具適應性。故提出使用改進的大津法來計算對邊緣檢測時較為重要的高閾值。Otsu算法基本思想是以圖像的直方圖為計算基礎，遍歷整個圖像，使得目標與背景的類間方差最大時的值確定最佳分割閾值。假設原始圖像中有L個灰度級，總像素個數為N，Ni表示灰度級為i的像素數，則灰度級i出現的概率為Pi=Ni/N。進行圖像分割時選擇T為閾值，將圖像分為類C0和類C1。

類C0的概率

(12)

類C1的概率

(13)

類C0的均值

(14)

類C1的均值

(15)

則圖像的類間方差表示為

(16)

(17)

背景類方差

(18)

圖像的平均方差為

(19)

(20)

其中，Eave是圖像的灰度均值，S是圖像的面積。則圖像的總體方差為

(21)

判別本文改進的Otsu算法的最佳閾值的函數為

(22)

為提高計算效率，取低閾值為高閾值的一半。

1.4 邊緣融合

將經過改進的LoG算子檢測的邊緣與改進Canny算法檢測到的邊緣圖像進行融合得到最終邊緣圖像。通過加權融合，將提取的兩幅邊緣圖像像素乘以不同的權重后再相加，得到邊緣融合圖像[14]。假設改進LoG算子檢測到的邊緣圖像為A(x,y),Canny自適應算法檢測到的邊緣圖像為B(x,y)，融合后的圖像為C(x,y)，則有

C(x,y)=αA(x,y)+(1-α)B(x,y)

(23)

式中：α為加權因子。

本文算法的流程為：①首先使用小波變換增強圖像，對高頻系數放大同時壓縮低頻系數，以增強圖像邊緣；②將增強后的圖像作為輸入，用改進的LoG算子進行邊緣檢測，并對Canny算子改進，用改進后的算子對輸入圖像進行邊緣提取；③將兩邊緣圖像通過加權融合的方式以得到最終邊緣圖像。

2 實驗結果及分析

為驗證本文算法的可行性，在Inter Core I5，1.80 GHz CPU，4 G RAM操作系統Windows10的計算機上，采用Matlab R2014b對算法進行編程仿真實驗，測試所用的圖片為lena圖片和pepper圖片。為方便對比，本文給出了傳統LoG與Canny檢測的邊緣圖像，文獻[4]邊緣圖像和小波增強圖像以及為了驗證算法魯棒性添加了15%高斯噪聲和30%椒鹽噪聲的加噪圖像，如圖2、圖3所示。

圖2 lena測試圖像

圖3 pepper測試圖像

由以上結果可以得出如下結論：①改進的Canny算子檢測到的邊緣連續性較好(lena圖的帽子和嘴巴處)，對偽邊緣有較好的抑制作用，但在一些細節方面會出現漏檢。改進的LoG算子檢測到的邊緣在連續性上雖不太好，但可以彌補Canny算子在某些邊緣細節上的缺失(lena圖的帽沿)。②經過實驗驗證當α等于0.5時所得到的融合結果最好。③本文算法檢測到的邊緣更加清晰，圖像連續性更好，綜合了兩改進算子的優勢，去噪性能也得到明顯提高，具有很好的魯棒性。

3 結束語

本文提出了一種結合小波改進的邊緣檢測算法。利用小波變換增強原理，增強圖像的高頻細節信息，將增強后的圖像作為輸入，通過改進的LoG與Canny算子對圖像進行邊緣檢測，最后將兩邊緣圖像加權融合得到最終圖像。改進的Canny算子能夠檢測到較少的偽邊緣并提高邊緣連續性，同時在一定程度上保持邊緣細節，使用雙邊濾波平滑圖像的改進LoG算子提高了去噪能力和保邊能力。算法檢測到的邊緣對混合噪聲有較好的魯棒性，且融合后圖像更加清晰連續。算法提高了邊緣檢測能力，為檢測完整連續的邊緣特征提供了一種可行思路。