基于多元回歸分析的三體船阻力性能預報

許小穎，高麗莎

文華學院 機電學部，湖北 武漢 430074

近些年，三體船研究越來越受到人們的重視,特別是在其布局優化方面更是得到了許多學者的關注。郭春雨等[1]考慮到CFD 仿真模擬和模型試驗之間存在不同之處,原有的自航試驗數據處理方法其實并不適用于CFD 仿真模擬；陳康[2]等采用CFD 模擬技術對2 種不同三體船型的水動力性能進行了研究；而張校慈[3]基于實船、船模和浮動平臺上設備的沖擊響應測據,利用回歸分析的方法匯總出一個實用的實驗公式。這些研究普遍都取得了顯著的成果，但上述研究方法一般是采用基于粘性理論的CFD 計算技術[4]，計算時間較長，不適用于大量的變換布局、航速的推廣研究。

針對上述問題，筆者選取了基本數據庫中29條包括貨船、油船、集裝箱船及化學品船的各相關數據進行了多元線性回歸[5]，與計算機仿真模擬結果相對比，驗證了回歸公式的可行性，可將其廣泛應用于三體船快速性能的初步預測中。

1 回歸方法原理

回歸分析是一種統計計算的方法，它從自變量和因變量的一組觀測數據出發，尋找一個函數式(即回歸方程)，將自變量與因變量之間的統計相關關系近似地表達出來。

在各種回歸分析中，線性回歸是比較常見的，而實際中的一些非線性問題通過變量代換也可轉化為線性回歸的問題，稱為廣義線性回歸:

式中 ε表示誤差，令

可將式(1)轉化為

對于含有n個數據點的一組觀測值(xi1,xi2，…，xim,yi),回歸系數β0,β1,···,βm的確定通常可以用最小二乘法，使得殘差平方和達到最小:

求得回歸系數后，須進行檢驗回歸模型的顯著性，通常采用F檢驗法[6]。分別定義

式中RSST為總偏差平方和，其自由度fSST=n-1。

假設H0: β0=β1=···=βk=0，當H0成立時，檢驗統計量F為

檢驗顯著性概率為

2 單體船阻力性能驗證

2.1 樣本數據庫的提取

由于內河船在阻力因數上進行的模型試驗[8]較少，采用基于武漢某研究所多條實船試驗所得數據為樣本，共有29 艘內河船，其中包括貨船17 艘、集裝箱船7 艘及油化船5 艘。數據庫可在后續工作中進行補充。基于上述回歸分析理論，筆者針對基本數據庫中多條貨船、油船、集裝箱船及化學品船各相關數據進行統計以得到供本文回歸計算使用的新數據庫，該庫以Fr=0.15～0.22為基本分類，表1 給出了各船的主尺度參數的分布范圍。

表1 基本數據庫的船舶主尺度參數分布范圍

由于每艘船主尺度參數的分布范圍較廣、基礎數據較多，篇幅所限，表2 僅給出Fr=0.22 下的相關參數及其分布范圍。

表2 Fr=0.22 時各船相關參數及分布范圍

在顯著性水平 α(一般取為0.05)下，當p＜α時，即認為回歸方程有顯著意義。另外，殘差平方和越小，說明回歸方程表達變量之間的統計相關關系的精確度越高，也就是回歸分析的效果越好。

除了對回歸方程的整體顯著性進行檢驗外，還需對回歸模型中的單個變量的顯著性進行檢驗，以剔除對方程影響不顯著的變量，得到最優的回歸方程。通常采用的是逐步回歸分析法，它的基本思路是:在給定的水平界限下，從一個只含常數項的回歸方程出發，逐步引入和刪除一些變量，對于每一步都進行顯著性檢驗[7]。這個過程反復進行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止。

2.2 樣本回歸分析

由于數據量較大，本文僅以Fr=0.15 為例，選定回歸變量后，重復進行多元線性回歸和檢驗[9]，期間剔除對方程影響不顯著的變量和異常的數據點，由此得到剩余阻力的顯著性檢驗結果:均方根誤差RMSE=0.087 8，統計值F=10.907 1，其對應的概率p=0.000 1。可見p=0.000 1＜α，說明回歸出的方程具有高度顯著性。而回歸均方根誤差RMSE=表明了回歸效果良好，該方程具有較高精確度。

最終得到的回歸方程為

為便于觀察，圖1～3 分別給出了最終回歸結果與原剩余阻力系數值關于L/B、B/T和Cb的對比圖，可以看出回歸值與原數據在分布趨勢和數值上都吻合良好。

圖1 回歸結果與原始Cr 關于L/B 的對比

圖2 回歸結果與原始Cr 關于B/T 的對比

圖3 回歸結果與原始Cr 關于 Cb的 對比

通過國際船模實驗會議(ITTC)1957 公式[10]計算實船的摩擦阻力系數:

式中Re為雷諾數，可通過來求得，其中V可根據船舶主尺度及Fr求得， ν可通過查表獲得。同時，需要計及實船粗糙度阻力系數

利用剩余阻力系數Cr的回歸值，終可得實船總阻力系數:

圖4～6 分別給出了最終回歸結果與原總阻力系數值關于L/B、B/T和Cb的對比圖，可以看出回歸值與原數據在分布趨勢和數值上吻合良好。

圖4 回歸結果與原始Ct 關于L/B 的對比

圖5 回歸結果與原始Ct 關于B/T 的對比

圖6 回歸結果與原始Ct 關于 Cb的 對比

為方便讀取和驗證，本文特摘取了Fr=0.15 時的回歸數值，以列表形式體現表3 即為回歸Cr計算實船Ct與原始試驗數據的誤差對比，由于不同Fr下樣本數據的剔除點可能不同，故該表依據Fr不同其編號列有所不同。可以看出誤差均為±5%以內，即回歸公式具備一定可信度。

2.3 各不同Fr 下回歸結果的統計

針對各不同Fr值，筆者依據上述過程進行了系數計算:

經過多次重復線性回歸及異常點剔除后，在保證均方根誤差RMSE、統計值F及其對應的概率p均滿足一定要求的基礎上，停止調試，并最終得到各Fr下的回歸方程系數，見表4。將其分別代入式(5)即可得到不同Fr下的回歸方程。

表3 Fr=0.15 時回歸值計算得到Ct 值與原試驗數據的誤差

表4 Fr 不同時的回歸方程系數

由表4 可見，公式中的常數項b1漸增，剩余阻力系數會隨著Fr的增加而呈現增長的趨勢；而只含有Cb項的系數(即b4和b8)絕對值較大，這說明Cb相較于其他主參數，對于剩余阻力的影響更大，且呈現規律性變化。

3 算例分析及預報

本文選用的是1980 年美國泰勒水池戰艦5415(DTMB5415)的初步設計，帶有艏部聲吶罩以及方艉。該船主尺度參數見表5。

表5 單體船型主要參數

在前期筆者對于三體船布局優化的研究中，曾對該模型在各Fr下的阻力系數進行了仿真模擬[11-12]，如圖7 所示。圖中a表示主體與側體的位置關系。

圖7 不同布局下三體船的剩余阻力系數

取仿真模擬結果中的最優布局a=-1.5 m 即側體后置前體1.5 m 的三體船的總阻力系數Ct，Fr取各種布局下阻力變化相差不大的數值(0.2～0.3)，將單體船的回歸計算值轉換為計算三體船總阻力系數值，通過對比CFD 仿真模擬結果與回歸預測值，發現兩值誤差均在10%以內，詳見表6。

表6 仿真結果與回歸結果Ct 對比誤差

分析誤差原因主要有以下2 點:1)因理論分析的方法未能切實考慮到主側體干擾對于三體船快速性能的影響，故結果存在一定誤差；2)因樣本數據的數量不多，且樣本船型均有一定差別性，故回歸公式中的誤差數值具有一定局限性。

對于三體船的阻力預報，實驗方法無疑準確，但成本較高；仿真模擬的方法也很常見，對于主側體間的干擾也有涉及，但建模工作量較大且受網格質量影響較大；而回歸計算方法用在初步設計階段能夠快速粗略地估算阻力數值，誤差僅在10%以內，具備一定參考價值，可在一定程度上作為初期預測船舶阻力性能的有效手段。

4 結論

本文從快速性的角度出發，選取一定樣本進行了多元線性回歸，得到了單體船阻力系數的經驗公式。后將換算得到的三體船阻力系數值與仿真模擬結果進行對比，驗證了回歸公式的可行性。在此過程中，與典型CFD 計算相比，多元回歸的方法在精度接近的基礎上，極大地節省了時間，而且無論是對樣本的模擬，還是其大范圍預測的能力都要遠遠強于CFD 模擬。

三體船的研究方興未艾，多體干擾對于多元回歸法預測三體船快速性的影響還需進一步研究，因此本文結果具有一定的局限性。同時，限于樣本數據的多樣性和局限性，多元回歸公式具備一定變化性，由此出現的計算差別有待進一步討論。