構造等時三角形 巧解直線運動題

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

對于物體在豎直平面內的直線運動問題，有時可通過構造等時三角形，利用自由落體運動規律求解，巧妙快捷。

1 等時三角形的構建

如圖1所示，在半徑為R的豎直圓環內，放置幾個光滑的直軌道，其一端位于圓環的最高點A或最低點B，另一端在圓環上。應用運動學公式可以證明：若兩個小球同時從最高點A由靜止沿不同的軌道下滑，會同時到達點C、D。若兩個小球同時從點C、D由靜止開始沿不同的軌道下滑，會同時到達最低點B。而且下滑運動經歷的時間與各弦的傾斜程度和長度無關，都等于小球從圓周的最高點自由下落到最低點經歷的時間。

圖1

2 應用實例

圖2

例1：如圖2所示，兩個完全相同的光滑直角彎管abc和a′b′c′，擺放成矩形固定放置，一條對角線沿豎直方向。有兩個完全相同的小球A、B分別從兩個彎管的上端管口由靜止滑下，假設小球在直角轉彎處無機械能損失，兩球到達出口c和c′處經歷的時間分別為t和t′，則( )。

A.t=t′ B.t>t′

C.t

圖3

解析：由于直角彎管的內壁光滑，且到達轉彎處無機械能損失，由機械能守恒定律可知：兩球到達出口處的速率相等，則速度圖像的末端位于同一水平線上。由于兩球通過的路程相同，則圖像與橫軸圍成圖形的“面積”相同。兩個小球在l1段的加速度a1相同，在l2段的加速度a2也相同，且a1>a2，因此圖像為折線。由于直角三角形的斜邊沿豎直方向，可知小球從兩個彎管的最高點下滑到轉彎處經歷的時間相同，則兩條折線拐點位于同一平行于速度軸的直線上。速率-時間圖像如圖3所示，可知小球先從左側彎管下端掉出，即t

例2：如圖4所示，半徑分別為R和r的圓環豎直放置，一條公共弦過兩圓的切點、且分別與兩圓相交于a、b兩點。在此弦上鋪一條光滑軌道，令一小球從a點以某一初速度沿軌道向上運動，設小球恰好能到達b點，則該小球從a點運動到b點所用的時間為多少？

圖4

圖5

解析：因小球恰能上升到b點，即到達b點時速度為零，則根據運動的可逆性，可把小球由點a向b的勻減速運動等效為由點b向a的勻加速運動，這樣就能利用等時性解題了。

對于在豎直平面內的兩個外切的圓而言，小球沿過切點的公共弦從上端由靜止滑到下端的時間等于小球從一個圓的最高點由靜止下落到另一個圓的最低點經歷的時間，這與等時圓的特性相似。

例3：如圖6所示，PB、PC、PD是豎直平面內三根固定的光滑細桿，細桿兩端都位于同一圓周上，A為圓周最高點，B為圓周最低點。每根細桿上都套著一個小環，三個小環都從P點無初速釋放，用t1、t2、t3依次表示小環沿細桿運動到點B、C、D所經歷的時間，試比較t1、t2、t3的大小。

圖6

圖7

解析：如圖7所示，過P作豎直線，以豎直線為斜邊，分別以PB、PC、PD為直角邊作直角三角形，可知對應的斜邊長度不等，那么對應自由落體運動的時間不等，易知t1

圖8

例4：如圖8所示，圓環和點P在同一豎直平面內，在環上取一點與P連成光滑直軌道，一物塊由靜止開始從P點滑向圓環。A是圓環的最高點，B是圓環的最右端，C是圓環與地面的接觸點，D是PC與環的交點，O為圓心，E是PO與環的交點，物塊滑到圓環上所需的最短時間為( )。

A. 沿PA軌道運動的時間

B. 沿PB軌道運動的時間

C. 沿PD軌道運動的時間

D. 沿PE軌道運動的時間

圖9

解析：如圖9所示，過點P畫一豎直線，以此作為斜邊，再分別以PA、PB、PD、PE作為直角邊，構造直角三角形，可見：過D的直角三角形的斜邊PD′最短，則沿PD軌道運動的時間最短，選項C正確。

圖10

圖11

3 結語

雖然等時三角形與等時圓是等效的，但在作圖時，利用等時三角形比較簡單，不必再作圓了。而直接利用等時三角形解答有關問題，只需定性分析，不必定量推導，顯得直觀簡便。