一類混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件

李麗花

(上海電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200090)

混雜系統(tǒng)是指包含離散事件動態(tài)系統(tǒng)和連續(xù)變量動態(tài)系統(tǒng)且兩者相互作用的系統(tǒng)。這類系統(tǒng)在化學(xué)過程、自動化系統(tǒng)和電力系統(tǒng)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

近年來,混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制引起了人們的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[1]利用動態(tài)規(guī)劃和粘性解理論得到了最優(yōu)切換的必要條件和充分條件。文獻(xiàn)[2-3]研究了混雜最優(yōu)控制問題的數(shù)值算法。對于含有兩個切換子系統(tǒng)的混雜系統(tǒng),文獻(xiàn)[4]利用嵌入法,得到了原混雜控制問題的必要最優(yōu)性條件和充分最優(yōu)性條件。其他有關(guān)混雜系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題,可參考文獻(xiàn)[5-10]。

文獻(xiàn)[5]利用變分原理得到了一類混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件,但其證明過程相對繁瑣。本文通過引進(jìn)一個新的參數(shù),將可變區(qū)間上的混雜問題轉(zhuǎn)化為固定時間區(qū)間上的最優(yōu)控制問題,再利用古典的最優(yōu)控制理論,得到了原混雜系統(tǒng)的必要最優(yōu)性條件。

1 問題描述

設(shè)時間變量t0

(1)

式中:x(t)∈Rn;

u(t)∈Rm;

fk∈Rn,關(guān)于其變量連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo);

r∈Rl;

Mk∈Rn,關(guān)于其變量二次連續(xù)可微。

記θ=(t1,t2,t3,…,tN-1),則目標(biāo)為確定滿足式(1)的向量組(θ,x(t),u(t)),使得以下函數(shù)的值最小。

(2)

式中:Lk∈R;

φk∈R(k=1,2,3,…,N),關(guān)于其變量二次連續(xù)可微。

為方便起見,記上述問題為(P)。

2 主要結(jié)論及其證明

對于k=1,2,3,…,N,令

xk(s)=x[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

uk(s)=u[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

則問題(P)可轉(zhuǎn)化為如下古典問題(Q):

(3)

本文的目標(biāo)為確定(t1(s),t2(s),t3(s),…,tN-1(s),x1(s),x2(s),x3(s),…,xN(s),u1(s),u2(s),u3(s),…,uN(s)),使得以下函數(shù)值最小。

(4)

定理1設(shè) (θ0,x0,u0) 為問題(P)的弱極小值,雅可比行列式D(x(t0),x(tN))r(x0(t0),x0(tN))的秩為l,l為正整數(shù),則存在分段連續(xù)的變量(λ1(t),λ2(t),λ3(t),…,λN(t))T,μ=(μ1,μ2,μ3,…μl)T,使得對

Hk(x(t),u(t),λk(t))=

以下結(jié)論成立。

(1) 協(xié)態(tài)方程

(2) 邊界條件

λ1(t0)=-Dx(t0)[μTr(x0(t0),x0(tN))]

λN(tN)=Dx(tN)[φ(x0(tN))+μTr(x0(t0),x0(tN))]

(3) 極……