基于改進粒子濾波的鋰離子電池健康狀態估計＊

徐超 李立偉 楊玉新

（1.青島大學，電氣工程學院，青島 266071；2.青島大學，威海創新研究院，青島 266071；3.青島大學，圖書館，青島 266071）

主題詞：鋰離子電池 SOH估計 粒子濾波算法 螢火蟲算法 健康指標

1 前言

鋰離子電池具有自放電率低、能量密度高等顯著優點[1]，在交通、航天、國防等領域得到了廣泛應用[2]。但在反復充、放電過程中，鋰離子電池容量會下降，性能會降低，嚴重時甚至會發生災難性事件[3-4]。因此，準確估計鋰離子電池的健康狀態（State Of Health，SOH）對于電池的安全可靠運行具有重要意義。

電池容量是電池SOH 的直接指標，在許多估計方法中都有應用。Chen 等人[5]提出了一種基于歐姆內阻與容量衰減關系的電池SOH 估計方法。與此同時，基于可測電池參數的健康指標（Health Index，HI）在線構建也得到了越來越多的研究[6-8]。此外還有基于數據驅動的預測方法，但是需要與電池電容和可測量的物理參數建立映射關系，對訓練數據集具有高度依賴性。電池在復雜條件下工作時，該方法可能會降低精度。因此，基于模型的預測方法越來越受到人們的重視，該方法通過提取表征電池動態老化和失效過程的內部參數來建立物理模型。由于模型參數隨電池退化而變化，因此可以采用濾波方法遞歸更新模型參數[9-14]。

然而，卡爾曼濾波（Kalman Filter，KF）存在一些固有的缺陷，不適應非線性的模型，而且要求系統噪聲和測量噪聲必須滿足高斯分布，但鋰電池退化過程并不符合這些要求。相比之下，粒子濾波（Particle Filter，PF）算法在處理非高斯和非線性電池SOH方面具有優勢[15]，因而受到許多學者的關注和重視。然而，PF 算法存在粒子多樣性退化的問題，為解決這一問題，可以采取的主要策略有2種：一是改進重采樣技術[16-17]，雖然重采樣技術可以在一定程度上解決粒子數量不足的問題，但是會導致粒子的多樣性缺失；二是選擇更合理的粒子建議分布[18]。近年來，隨著生物智能算法的出現和發展，采用智能群體優化算法優化粒子濾波來解決粒子退化貧化問題具有非常好的應用價值[19-21]。因此，本文選用螢火蟲算法優化粒子濾波，并對傳統螢火蟲算法加以改進，模擬螢火蟲優化思想的吸引行為和移動行為代替粒子濾波重采樣來解決粒子貧化問題。

2 基本算法

2.1 粒子濾波算法

粒子濾波是一種基于蒙特卡洛仿真的近似貝葉斯濾波的概率統計算法[22]。許多非線性濾波問題可以用動態空間模型來描述，狀態方程和觀測方程分別為：

式中，xk、yk分別為k時刻的狀態值和觀測值；fk為狀態轉移函數；hk為觀測函數；uk為過程噪聲；vk為觀測噪聲。

設初始的狀態概率密度為P(x0|y0)=P(x0)，則得到(k-1)時刻狀態變量xk后驗概率密度分布P(xk|y1：k-1)的狀態預測方程為：

設初始重要性密度函數為q(x0)，并將已知且易于采樣的重要性密度函數q(x0：k|y1：k)改為：

從q(xk-1|y1：k-1) 中采樣N個粒子的概率密度為：

式中，δ為狄拉克函數。

狀態估計為：

2.2 螢火蟲算法

通過對熱帶螢火蟲的發光機制和運動行為進行模擬，Yang 提出了一種新型的自然啟發式群體智能優化算法，即螢火蟲算法（Firefly Algorithm，FA）[23]。真實的螢火蟲發光自然地呈現出一種離散的閃爍模式，而螢火蟲算法假設它們總是在發光[24]。

2.2.1 熒光亮度

熒光亮度取決于螢火蟲所在位置的適應度，并與其近似成正比。亮度越高，表示該個體的吸引力越強，其他個體向其移動的概率越大，并且存在亮度隨著距離而弱化的過程，定義熒光亮度參數為：

式中，I0為rij=0 時的光強，即最大光強；γ為介質的吸收系數，通常取1；rij為螢火蟲i和j之間的歐幾里得距離：

式中，xi和xj分別為螢火蟲i和j所處的空間位置；D為維度；xid和xjd分別為螢火蟲i和j所在的第d維分量。

2.2.2 吸引度

螢火蟲的吸引度隨熒光亮度的變化而變化，定義吸引度參數為：

式中，β0為最亮螢火蟲的吸引度。

2.2.3 位置移動

螢火蟲在受到比自身更亮的個體吸引時，會向更亮的個體移動，位置的更新表示為：

式中，為螢火蟲當前所在位置；為吸引度；α(R-0.5)為隨機項，其中α為步長因子，R∈[0,1]為隨機數。

3 改進算法

3.1 改進螢火蟲算法

FA 是一種參數少、穩定性強，且操作方便的算法，但是在迭代后期會出現隨螢火蟲之間距離逐漸縮小，其相對吸引度增大的現象，從而導致螢火蟲算法局部搜索能力變弱，并且有可能在峰值附近反復振蕩，使得算法的計算速度和求解精度下降。與此同時，螢火蟲的個體多樣性變差，易出現早熟收斂現象。針對傳統螢火蟲算法的不足之處，本文對FA進行改進。

3.1.1 采用動態搜索步長

在標準FA中，α是固定的，未考慮隨著迭代次數增加，螢火蟲之間距離逐漸減小的特征。因此，本文采用隨迭代變化自適應控制的隨機步長因子α來減小螢火蟲的隨機運動。α在每次迭代中進行動態調諧：

式中，tmax為最大迭代次數。

3.1.2 引入慣性權重因子

雖然式（13）最后的帶有特定系數的隨機項可以在一定程度上避免局部振蕩的延續，但是可能由于迭代次數過多，精度無法得到滿足。因此，為了提高FA的局部搜索能力，將慣性權重引入位置更新公式：

式中，ωt為慣性權重因子，一般取0～1范圍內的常數。

3.1.3 改進移動策略

每一只螢火蟲都在逐步向更亮的螢火蟲移動，因為每只螢火蟲的亮度都需要相互比較，而且每次比較都伴隨著一次移動，這就會使得跟蹤時間過長。為了克服這一問題，以所有比螢火蟲i亮的位置坐標的平均值作為代表點，螢火蟲i只向這一代表點移動而不必向其他較亮螢火蟲移動，這將大幅縮短跟蹤所需時間。最終改進的位置移動公式為：

3.2 改進螢火蟲算法優化粒子濾波步驟

a.設定所需參數，包括粒子數N、最大吸引度β0、步長因子α、傳播媒介的吸收系數γ、最大迭代次數tmax和算法迭代終止閾值?。

c.采用改進螢火蟲算法來優化粒子，模擬螢火蟲優化思想的吸引行為和移動行為代替粒子濾波重采樣。首先求出xjavg，并獲取粒子吸引度，然后根據式（16）更新粒子位置，迭代擬合最小方差估計。粒子吸引度計算公式為：

d.判斷擬合終止。當熒光亮度大于設置的終止閾值?時，停止算法迭代，否則繼續迭代至最大迭代次數；當算法符合設定的?時，說明粒子已收斂至粒子真實值，或者達到最大迭代次數，此時停止優化；否則轉入步驟c。

e.權重補償及更新。螢火蟲算法與粒子濾波結合的核心思想是，為了得到更準確的預測值，對PF中的粒子逐個進行迭代尋優，粒子會向后驗概率密度值高的區域聚集。但是螢火蟲算法會導致粒子濾波分布存在貝葉斯濾波理論丟失的情況，因此，在粒子位置更新的同時對權重進行補償及更新：

4 仿真及結果分析

4.1 鋰電池數據集

本文采用先進壽命周期工程中心（Center for Advanced Life Cycle Engineering，CALCE）公布的利用美國Arbin BT2000 鋰電池試驗系統對鋰電池進行連續的充、放電試驗獲得的一組電池容量試驗測量數據。試驗在室溫條件下進行，所用鋰電池的額定容量為1.1 A·h。首先，以恒定電流0.675 A 充電，當電壓升高到4.2 V 時充電結束。然后，以恒定電流1.350 A放電，放電速率為1 C，當電壓降低到2.7 V 時放電結束。最后，對鋰電池進行電化學阻抗譜掃描，頻率掃描范圍0.1～5.0 Hz。

4.2 鋰離子電池在線SOH估計方法

本文通過提取電池實際運行過程中可以直接監測到的放電電壓序列和時間序列構造一個在線的HI，對構造的HI 與電池SOH 之間的相關性進行評估和映射，并將此映射關系應用到系統狀態空間方程中以實現電池SOH估計。

等放電電壓差時間間隔潛在退化模型與電池容量退化模型類似，取等放電電壓采樣的最大值Vmax和最小值Vmin分別為4 V 和3.5 V，一定充、放電周期內，提取等放電電壓時間間隔的在線HI為：

式中，tVmax和tVmin分別為電壓采樣的上限和下限時間。

在線HI序列可以表示為：

在線HI可以作為電池SOH的間接指標，而在線HI與電池SOH之間的相關分析和轉換關系也具有一定的參考價值。由文獻[25]可知，電池SOH與在線HI之間的轉換關系可以描述為：

式中，Oi為電池健康狀態；β0為常數；β1和β2為轉換關系系數；ε為誤差。

這種近似方法應用線性基礎展開，是廣義線性回歸模型的擴展之一，這種轉換關系的優點是可以添加平滑函數來描述兩個變量之間的線性或非線性關系。

4.2.1 退化模型和狀態轉移方程

鋰離子電池反復充、放電造成的退化是一個復雜的電化學反應過程，因此很難建立合適的模型來表征整個降解過程，但是不難看出，電池退化的總體趨勢是指數衰減的。而且Xing等人[26]的研究表明，雙指數退化模型能夠很好地描述電池的退化過程：

式中，a、c為內阻抗；b、d為退化速率。

電池雙指數模型所確定的函數如圖1 所示。由于原數據集樣本量較大，先對數據樣本進行約減預處理，原數據樣本每隔5次循環抽取一個新數據點，構建縮減后的數據樣本。擬合相關系數R=0.995 5，說明雙指數模型表征電池降解過程的能力很強。

圖1 CALCE數據集A12系列電池退化過程擬合

選擇退化模型參數作為系統狀態空間變量，狀態轉移方程可建立為：

式中，N(0,σm)(m=a,b,c,d)為均值和標準差都為零的高斯噪聲。

4.2.2 測量方程

測量方程描述了系統狀態變量與觀測信息之間的函數關系，選擇在線HI 作為狀態空間方程的測量值。考慮到電池退化模型以及在線HI與電池SOH之間的映射關系，測量方程為：

式中，g()為在線HI與電池SOH之間的轉換關系。

4.2.3 狀態更新和電池SOH估計

在第k個循環周期，每個粒子對電池SOH 的估計為：

4.3 仿真設計

首先，對CALCE 數據集中A12 系列電池進行在線HI 提取，并對構建的HI 與SOH 進行相關性分析。然后，對測量方程建立在線HI 與電池SOH 之間的映射函數，對狀態轉移方程建立退化模型。最后，利用改進算法對電池SOH估計的狀態參數進行優化。為便于與電池數據對比，將在線HI除以某一基準值，所構造的在線HI和真實SOH如圖2所示，由圖2可知，在線HI與電池SOH 有很強的相關性，說明電池SOH 的變化可以通過提出的HI表示。

圖2 A12系列電池的在線HI提取

由式（24）和電池SOH獲得的映射在線HI如圖3所示。利用最小二乘法計算系數β0、β1和β2。最大誤差為0.045 7，表明利用映射關系可以建立系統狀態空間方程。

圖3 A12系列電池的在線HI與SOH映射關系

4.4 評價指標

為了分析改進算法的估計性能，對粒子數相同的PF 算法進行分析和比較。評價指標包括均方根誤差（Root-Mean-Square Error，RMSE）ERMSE、最大誤差（Mean Error，ME）EME、最大相對誤差（Maximum Relative Error，MRE）EMRE和平均誤差（Average Error，AE）EAE：

4.5 仿真結果與討論

傳統PF 算法與改進螢火蟲算法優化的粒子濾波（Improved Firefly Algorithm-Particle Filter，IFA-PF）算法對A12系列電池的SOH估計結果如圖4所示，量化性能比較結果如表1所示。

圖4 2種算法對A12系列電池的SOH估計結果

表1 2種算法仿真結果評價指標

從圖4 和表1 可以看出：經過濾波的估計值與真實值之間的誤差都在0.05以內，最大相對誤差都在10%以內，具有較高的準確性，說明PF算法在電池SOH估計中具有良好的性能，適用于鋰離子電池等非線性、非高斯系統；結合退化模型和在線HI的IFA-PF算法最大相對誤差可減小到6%以內，表明改進算法估計結果具有較高的精度，優于傳統的PF算法。

5 結束語

本文提出了一種基于改進粒子濾波算法的鋰離子電池SOH在線估計方法。首先從放電電壓和放電時間方面構建了在線測量的健康指標，建立了其與電池SOH之間的映射關系，并將其應用于系統狀態空間方程。通過建立雙指數退化模型，采用改進算法實時調整模型參數估計電池SOH。仿真結果表明，基于IFA-PF 算法的電池SOH 估計精度高，能夠有效地適應具有非線性和非高斯特性的鋰離子電池。然而，當電池在動態條件下工作時，情況將更為復雜，測量精度可能降低，因此在未來將對這一具有挑戰性的問題進行研究。