分段線性復合式振動俘能器的建模與實驗*

2020-12-24 07:50:38王浩宇彭利平劉德洋

機電工程 2020年12期

王浩宇，楊歡，彭利平，劉德洋

(河海大學機電工程學院，江蘇常州 213000)

0 引言

微機電系統和電子技術的快速發展使得微電子設備的能量消耗逐漸變小，但為其供能的傳統電池存在壽命短及更換過程復雜的缺點，這促使人們探究新的無源供能方法。振動俘能器已被公認為是解決低功耗設備供電問題最具有發展潛力的技術途徑。振動俘能器中最常見的能量轉換機制有靜電換能[1]、壓電換能[2]和電磁換能[3-5]。其中，不需要額外輔助供電的電磁式能量俘能器(EEH)和壓電式能量俘能器(PEH)受到了國內外研究者的更多關注。

現實中主要環境振動源在一個比較寬的低頻范圍內(100 Hz以下)，然而大多數的振動俘能器簡化為線性彈簧質量阻尼系統，振動的能量俘能器都將單峰振幅限制在窄頻帶內；外部激勵存在與俘能器的諧振頻率不匹配產生共振發散的情況[6]，這使得線性能量收集器應用受到局限。另外，單一能量轉換模式的能量輸出往往達不到供能需求。因此，研究多種俘能技術和非線性的耦合輸出具有很大意義。復合壓電-電磁振動能量俘能器(HPEH)能將兩種及以上的能量轉換機制進行耦合，能增加耦合來提高輸出能量。CHALLA[7]通過實驗得出了復合振動俘能器相比任何獨立的振動俘能器有更好的能量輸出的結論；MAHMOUDI等人[8]開發了一種包含非線性HPEH的多物理模型，非線性磁場的系統比線性系統工作帶寬和功率密度分別增加了29%和60%；SOLIMAN等人[9]提出了一種基于分段線性振子的振動俘能器，利用制動器引起梁的碰撞，頻率帶寬明顯拓寬；MIAH等人[10]設計了基于沖擊梁的向上變頻壓電振動俘能器，該振動俘能器與分段線性系統耦合，能夠在較寬的工作帶寬內產生較高的輸出功率。

針對以上問題，本研究利用多個壓電懸臂梁和非線性彈簧提升系統的耦合以及帶寬；筆者利用歐拉-伯努利梁理論對裝置進行分布參數建模；利用Rayleigh-Ritz模態分析法確定力電耦合模型的等效剛度、質量等參數，建立基于集總參數模型的機電耦合模型。該方法考慮梁的振型與軸向應變分布情況，能提高預測精度。通過加工實驗裝置及搭建實驗平臺得到實驗輸出值與理論值對比，驗證非線性振動俘能器機電耦合模型的準確性和裝置拓寬頻帶能力。

1 能量收集系統結構及工作原理

振動俘能器有4個壓電懸臂梁，梁的自由端均與線圈連接，線圈下方設有固定磁鐵和彈簧。

分段線性復合振動俘能器和HPEH的單自由度等效動力學模型如圖1所示。

圖1 分段線性復合振動俘能器

梁和末端重物會隨著激勵振動，壓電梁產生的簡諧橫向振動使得壓電片厚度方向發生物理變形引起了電荷運動，從而在壓電陶瓷片的上下極板集聚了極性相反、等量的電荷。同樣，中間的線圈隨著梁上下振動，線圈切割磁感線引起磁通量的變化，發生法拉第電磁感應現象使得線圈產生感生電流。當線圈的振幅足夠大時，每個周期底部彈簧都與基座碰撞，系統從線性振動轉變為非線性振動的一種分段線性狀態，拓寬了系統的工作帶寬。

2 線性動力學模型及PEH建模

本研究移除電磁耦合和非線性彈簧，將振動俘能器簡化為單自由度線性壓電振動俘能器。

線性復合式振動俘能器具有良好的對稱性，如圖2所示。

圖2 線性復合式振動俘能器示意圖

系統動力學特性的研究對象簡化為對稱的一部分，即帶末端質量的固定-導支梁。在只考慮一階固有頻率的情況下，利用歐拉-伯努利梁理論和牛頓力學原理研究末端帶質量的壓電梁的彎曲振動位移響應，得到壓電梁沿z軸無阻尼自由運動方程為：

(1)

式中：EI—壓電梁平均抗彎剛度；ρs—壓電梁的單位長度質量。

利用模態疊加法求解運動方程，梁上各點相對位移可以表示為：

(2)

式中：i—振型數；φ(x)—模態特征函數；q(t)—模態坐標。

運用分離變量法求解上式，將式(2)代入式(1)，利用導支和固支的邊界條得到頻率方程為：

(3)

根據瑞利里茲法，導支端的位移為w(L,t)=φ(L)q(t)，將系統參數等效到x=L處的位置，得到系統的等效質量M和等效機械剛度Km為：

(4)

式中：p，s—壓電和基底層；S—梁的橫截面積；ρ—密度；E—彈性模量；I—慣性矩；Mt—末端質量。

筆者在模態分析和壓電本構方程的基礎上，利用哈密爾頓原理開展線性PEH系統的機電耦合建模[11，12]。根據Rayleigh-Ritz方法，梁的橫向位移可以為N個振動模態函數與模態坐標的乘積，電勢函數為N個電勢分布函函數和電學坐標的乘積：

(5)

式中：ψ(z,t)—電勢函數；φn(x)—振動模態函數；φv(z)—電勢分布函數；v(t)—電學坐標。

機電耦合等效方程簡化為：

(6)

式中：θp—等效壓電耦合系數；Cp—壓電等效電容：

(7)

3 電磁耦合系數

電磁發電轉換機制基于法拉第電磁感應定律，電磁感應結構如圖3所示。

圖3 電磁感應原理示意圖

無論是面積恒定下變化的磁場引起的磁通量變化，還是恒定磁場下的面積變化引起的磁通量變化，均可以推導出電動勢方程。工作過程中線圈振子磁場時刻變化，線圈的面積認為常數。

電動勢Ue與通過線圈磁通量的變化率有關[13]，表示如下：

(8)

根據磁偶極子模型[14]，磁偶極子模型產生的磁場在坐標(r，z)的磁場強度B為：

(9)

式中：Br，Vm—永磁鐵剩磁強度和體積；ez—z方向的單位向量。

只有沿著z方向的磁場分量對感應電動勢有影響，整個感應線圈內的磁通量為：

(10)

式中：fc—線圈填充率，N—線圈匝數。

將式(9，10)代入式(8)得到電磁耦合系數：

(11)

式中：Δ1，Δ2—靜平衡時磁鐵中心到線圈上面和下面的垂直距離。

為了便于分析和計算，一般取靜平衡位置時的電磁耦合系數。

4 集總參數機電耦合模型

(12)

壓電梁通常在低頻有較好的表現，等效質量和等效機械剛度取一階振動模態可得：

(13)

(14)

式中：K1,D1—非線性彈簧的等效剛度和阻尼。

考慮到壓電和電磁機電耦合作用對系統的影響，系統的線性等效剛度為：

(15)

壓電負載Rp和電磁負載Re下系統的輸出功率分別為：

(16)

(17)

5 數值仿真與實驗分析

為了驗證理論模型的合理性，本研究在MATLAB中對機電耦合模型進行數值仿真和實驗。

HPEH結構的仿真相關參數如表1所示。

實驗模型樣機及驗證實驗平臺如圖4所示。

實驗系統主要包括：信號發生器為DH5922N、功率放大器為DH5872、激振器為DH40200、位移傳感器為HG-C1050、加速度傳感器1A941E、數字示波器、外接電阻負載。功率放大器根據信號發生器輸出的頻率可調正弦激勵信號控制激振器振動，從而為俘能器提供恒定的激勵源，同時采用加速度傳感器和位移傳感器對振動加速度以及輸出位移進行測量。