基于RBF神經網絡的電磁軸承基礎激勵主動控制研究*

趙宏凱，蔣科堅

(浙江理工大學 信息學院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

主動電磁軸承(AMB)也可稱為電磁軸承，是一種新型的轉子懸浮支承技術。與滾動軸承和滑膜軸承相比，電磁軸承不但可以無接觸地支承轉子，還可以有效避免傳統機械軸承耗損大、不耐磨、能效低等問題。在某些高性能要求環境下，例如高轉速機械等領域有著廣泛的應用，電磁軸承還可以通過控制策略實現對支承特性的有效調節，達到對電磁軸承轉子系統的主動控制。

電磁軸承的動力學建模是研究電磁軸承的前提之一，其控制方法的優良和控制器設計的好壞是決定電磁軸承系統旋轉精度、動態性能和穩定性能的關鍵。

目前，學者們在電磁軸承動力學建模和控制算法的研究上，已取得了不少成果。田擁勝等[1]針對一臺4 000 r/min、50 kW的高轉速電磁軸承轉子系統進行了承載力建模，并對其剛度阻尼和系統性能進行了分析，給出了高轉速下電磁軸承的運行規律；SUN Z等[2]提出了一種單元映射的全局分析方法，在獲取電磁軸承全局結構的同時，研究了各參數對性能的影響。胡永等[3]將電磁軸承的動力學內容與傳統機械軸承進行了對比，并在磁力軸承API617標準下進行了動力特征分析，得出了兩者的不同之處；莫逆等[4]通過有限元方法，計算了轉子在外擾力作用下的傳遞頻率響應、位移響應及動態力響應，并與滾珠軸承進行了對比，考察了電磁軸承的振動傳遞特性；LYU M等[5]在電磁軸承系統響應識別的基礎上，提出了一種阻尼系數整定PID控制方法，有效地抑制了轉子振動；YUAN Y等[6]選取控制電流和目標平衡位置，在不涉及任何模型信息的基礎上，提出了一種三自由度電磁軸承無模型自適應控制方法，簡化了模型分析過程；蔣科堅等[7]提出了一種基于基礎加速度信號為參考信號，包含自適應濾波器的電磁軸承-剛性轉子系統的基礎激勵響應抑制方法，有效抑制了基礎激勵造成的轉子振動響應，但基礎激勵僅為平穩振動時才有效。

隨著現代控制技術的發展，神經網絡智能控制方法被廣泛應用于高精度、高效率的控制器設計中，有效提高了系統的控制性能。KUMAR P等[8]針對未知非線性SISO非仿射系統，基于Lyapunov穩定性理論，提出了一種RBF網絡估計等效仿射非線性系統的控制方法；羅隆等[9]提出了一種漸近穩定的自適應神經控制方法，在連續的自適應魯棒控制項中，實現了閉環系統的漸近跟蹤，減輕了控制輸入的顫振問題；SUN Y G等[10]在磁懸浮非線性仿射的數學模型上，設計了一種基于RBF神經網絡的滑模控制器，并采用最小參數學習法代替網絡的權重，證明了控制方法的有界性和收斂性。

在電磁軸承系統的動力學分析中，雖然有大量的研究成果，但在建模過程中，通常假設轉子系統安裝在靜止載體的基礎上。然而，在實際應用當中，電磁軸承轉子系統往往安裝在移動載體上，此時轉子系統必然會受到來自外部基礎激勵的干擾，引起電磁軸承轉子的振動響應。因此，在靜止基礎上得到的動力學模型，難以滿足移動載體上的電磁軸承控制設計要求。

筆者在考慮移動載體下電磁軸承的動態變化基礎上，對電磁軸承轉子系統進行受力分析，提出一種基于RBF神經網絡的PID控制算法，來對由系統引起的振動響應進行抑制；在移動載體上電磁軸動力學模型的基礎上，通過RBF神經網絡實時調節PID控制參數，實現在非隨機和隨機基礎激勵下電磁軸承轉子系統的穩定懸浮。

1 基礎激勵下電磁軸承系統動力學建模

筆者對電磁軸承支承特性的研究，沿用了傳統機械軸承-轉子系統等效剛度和等效阻尼的分析方法。對于電磁軸承控制系統，其支承特性總可以用支承的等效剛度和等效阻尼來表示。在線性范圍內，由于單自由度電磁軸承模型能夠較好地反映基礎激勵下系統的主要性能，筆者將電磁軸承的電磁力等效為一個單自由度的質量-彈簧-阻尼系統。

在忽略轉子陀螺效應的前提下，筆者建立了基礎激勵下的單自由度電磁軸承支承系統，如圖1所示。

圖1 基礎激勵下的電磁軸承支承系統

在基礎激勵下，根據牛頓定理，筆者建立數學模型表達式如下：

(1)

(2)

式中：mr—轉子質量；ms—定子質量；Ks—等效彈簧剛度系數；Cs—等效彈簧阻尼系數；Kt—定子剛度系數；U—外加控制力。

(3)

結合式(1,2)，可得基礎激勵下電磁軸承系統的空間狀態變量表達式為：

(4)

由式(4)可得狀態方程的系統矩陣A和輸入矩陣B為：

(5)

(6)

(7)

計算可得電磁軸承系統的輸出向量表達式為：

(8)

由式(8)可得狀態方程的輸出矩陣C和直接傳遞矩陣D為：

(9)

(10)

為觀測移動載體上單自由度電磁軸承轉子控制系統構造的基本特性，需要結合式(5,6)和式(9，10)進行系統能控性和能觀性的判定。

根據狀態能控和能觀的判定定理[11]，當Ks≠Kt≠0，且mrms不為0情況下，可得：

rank(Γc[A,B])=rank([BABA2BA3B])=4

(11)

由式(11)可知，系統能控性矩陣的秩等于4，與系統的階數相等，即電磁軸承轉子系統是能控的。這意味著當定子上的轉子稍稍偏離平衡位置時，總可以通過在定子-轉子間施加一個適當的外力，使得將轉子穩定在平衡位置，即：

(12)

由式(12)可知，系統能觀性矩陣的列向量秩為4，為列滿秩，即電磁軸承轉子系統是能觀的。這意味著，可以通過觀測其轉子的位移信號來確定系統中轉子的速度、定子的位移量和速度等信息。

由于移動載體上電磁軸承轉子系統具有可控性和可觀性，則必定可以設計狀態反饋控制器，來使系統保持穩定。

2 基礎激勵模型

在移動載體上運行時，電磁軸承所受到的基礎激勵有多種形式，例如隨機激勵和非隨機激勵、確定激勵和非確定激勵、周期激勵和非周期激勵等。載體以及外部環境對基礎激勵的大小及變化影響很大。

筆者以車輛作為移動載體，研究分析隨機和非隨機基礎激勵下的電磁軸承支承特性。其中，非隨機激勵選取正弦信號和方波信號；在隨機激勵選取上，由于得到完整全面的路面輪廓數據的難度很大。為方便實驗分析，采用高斯白噪聲通過一個積分器來產生隨機路面不平度時間輪廓的方法。

在垂直方向上的移動載體外部激勵輸入模型的表達式為：

(13)

式中：f0—下截止頻率，Hz；G0—路面不平度系數，m3/cycle；v0—前進速度，m/s；ω—數字期望為零的高斯白噪聲。

車輛載體在行進過程中，由于存在前后輪軸距，后輪與前輪之間的外部基礎激勵在時間上存在一定的偏差。為方便仿真分析，此處忽略后車輪相對于前車輪的基礎激勵產生的時滯，將其視為同一個外部激勵。

電磁軸承的非隨機和隨機基礎激勵曲線如圖2所示。

圖2 非隨機和隨機基礎激勵曲線

由圖2可知：在非隨機信號選擇上，采用頻率為5 Hz，幅值為1的正弦信號和占空比為50%，頻率為5 Hz的方波信號；在隨機信號選擇上，選取G0=16×10-6，v0=60 km/h，采樣時間為0.05 s，仿真時間為1 s的隨機高斯白噪聲信號。

3 基于RBF神經網絡的PID控制器

3.1 RBF神經網絡

RBF神經網絡通常分為3層，依次為輸入層、隱含層和輸出層。相較于BP神經網絡[12]，在映射過程中RFB不會陷入局部最小，有較好的擬合效果。

RBF神經網絡結構如圖3所示。

圖3 RBF神經網絡結構模型

RBF神經網絡的隱含層采用徑向基高斯函數作為激活函數，通過對各個輸入數據相乘相加的計算，來實現輸入向量的非線性變換，通過隱含層的多個神經元實現對任意函數的逼近。

隱含層中所用的激活函數的表達式為：

(14)

式中：cj—第j個隱含層節點的中心徑向基矢量；bj—第j個隱含層節點的基寬系數；hj—第j個隱含層節點的輸出向量。

RBF神經網絡的輸入與輸出之間的關系可表示為：

(15)

式中：wij—第i個輸入層節點與第j個隱含層節點之間的權重系數；uj—第j個輸出層節點的輸入量；ym—第m個輸出層節點的輸出量。

具體的迭代計算過程如下：

(16)

結合式(14，15)可得被控對象的輸出與控制輸入的比值，即Jacobian辨識信息矩陣為：

(17)

3.2 RBF神經網絡控制器

在電磁軸承轉子系統的模型基礎上，筆者采用RBF神經網絡控制PID的原理如圖4所示。

圖4 RBF神經網絡控制原理

筆者首先設計PID控制器，以降低轉子豎直方向上的加速度為控制目標，將轉子加速度的真實值和期望值之間的差值輸入至PID控制器當中；在外部激勵的干擾下，PID控制算法的參數不可動態調節。

筆者將PID控制方法與RBF神經網絡相結合，利用RBF神經網絡實現對PID參數的實時整定，以滿足移動載體下電磁軸承轉子系統的穩定控制。

控制偏差為e(k)下的RBF神經網絡PID控制器的算法為：

Δu(k)=kp(e(k)-e(k-1))+kie(k)+kd(e(k)-2e(k-1)+e(k-2))

(18)

具體計算過程如下：

(19)

其中：x1=e(k)-e(k-1)；x2=e(k)；x3=e(k)-2e(k-1)+e(k-2)。

4 仿真及結果分析

利用MATLAB，筆者對移動載體上電磁軸承的基礎激勵控制系統進行仿真實驗。

電磁軸承的基本參數如表1所示。

表1 電磁軸承的基本參數

根據移動載體上的電磁軸承支承模型和PID控制器模型，筆者采用基于RBF神經網絡的參數自整定控制方法進行仿真。

其中，RBF神經網絡的結構為3-6-1，學習速率為0.5，動量因子為0.05，初始PID控制參數為kp=0.01、ki=0.01、kd=0.01，仿真可得非隨機輸入信號為正弦信號的控制響應曲線，如圖5所示。

圖5 正弦信號控制響應曲線

從圖5中可見：由于PID控制算法的參數固定，不能隨著輸入波形進行實時調參，單單采用PID控制方法，在未調參的情況下，控制效果非常不理想。

RBF神經網絡通過對PID參數的實時調整，在正弦信號的第3個周期，輸出信號就可基本跟隨輸入信號，明顯提高了系統的輸出跟蹤能力。

非隨機正弦信號的控制參數調節曲線如圖6所示。

圖6 正弦信號控制參數調節曲線

從圖6中可知：在控制初期，比例系數、積分系數和微分系數的變化波動較為明顯；在0.5 s后，控制參數不再變化，達到穩定狀態。

在相同條件下，仿真可得非隨機輸入信號為方波信號的控制響應曲線，如圖7所示。

圖7 方波信號控制響應曲線

在非隨機方波信號下，筆者采用RBF神經網絡，同樣實現了控制參數的實時調整，在不進行人為參數調整的情況下，及時遵循輸入信號的動態過程，輸出信號在第2個周期就可基本跟隨輸入信號。

控制參數調節曲線如圖8所示。

圖8 控制參數自適應調節曲線

由圖8可見，控制參數在方波信號下的調節呈現階梯狀，控制初期的參數變化較為平緩，在0.5 s后，比例系數和微分系數產生較大變化，并最終可得非隨機方波信號的比例系數、積分系數和微分系數分別為4.5、24和2。

根據電磁軸承在移動載體上的支承模型與RBF神經網絡控制模型，筆者將控制力U和隨機基礎激勵信號xg作為輸入變量，以降低最能反應轉子懸浮性能的轉子加速度為控制目標，通過MATLAB建模仿真，得到了移動載體下電磁軸承的轉子加速度、轉子動位移和定子動位移的振動響應，如圖9所示。

從圖9可以發現：采用RBF神經網絡控制方法比采用單一PID控制方法有著更小的動態范圍，控制性能也有較大地提高；

在電磁軸承轉子系統的轉子加速度、轉子和定子動位移指標上，對于隨機基礎激勵的振動抑制效果明顯。

電磁軸承轉子控制性能的均方根值如表2所示。

圖9 隨機激勵下的振動響應曲線

表2 電磁軸承轉子控制性能的均方根值

由表2可得：在隨機基礎激勵下，相比于PID控制方法，采用RBF神經網絡控制方法在轉子加速度、轉子動位移和定子動位移的優化比分別為16.88%、34.55%、18.04%，有效改善了電磁軸承系統的動態變化，提高轉子的懸浮穩定性。

筆者對移動載體上電磁軸承轉子系統進行功率譜分析，可得到隨機激勵下的轉子加速度、轉子動位移和定子動位移的功率譜幅值曲線，如圖10所示。

圖10 隨機激勵下的功率譜

圖10中，對比兩種控制方法下的功率譜曲線可以看出：

(1)在移動載體上，相比于采用PID控制方法，電磁軸承轉子系統采用RBF神經網絡方法得到的幅值更低，說明該方法可以有效減小電磁軸承隨機基礎激勵的振動；

(2)進一步觀察可以發現，隨機基礎激勵對電磁軸承轉子系統的振動集中在低頻部分，隨著頻率的增大，振動幅值逐漸降低，可見在基礎激勵下的電磁軸承轉子系統的控制研究上，應當關注低頻部分對其產生的影響。

5 結束語

筆者通過建立移動載體上的單自由度電磁軸承支承模型，研究了在非隨機基礎激勵和隨機基礎激勵下，采用RBF神經網絡控制方法的情況下，電磁軸承系統的轉子加速度、轉子動位移和定子動位移的變化趨勢，通過仿真分析，可得到如下結論：

(1)移動載體上的單自由度電磁軸承系統的空間狀態模型具有可控性和可觀性；

(2)在周期正弦信號和方波信號下，RBF神經網絡控制方法可以有效提高系統的控制性能，可自適應調節PID參數，使系統輸出緊緊跟隨期望輸入；

(3)在隨機高斯白噪聲信號下，RBF神經網絡控制方法對轉子的加速度、轉子動位移和定子動位移改善明顯，性能分別提升了16.88%、34.55%和18.04%，使電磁軸承轉子系統在隨機基礎激勵下實現穩定懸浮；

(4)移動載體上的電磁軸承轉子系統的振幅最大值出現在頻率較小處，低頻基礎激勵對電磁軸承系統的振動影響較大。