從猜開始的數學學習

高曉健

猜的正名

在很長一段時間內，數學都被認為是一種系統的演繹科學。這一成見甚至可以追溯到歐幾里得時代。直到20世紀40年代，美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（G.Polay）通過對數學創造和學習的具體思維過程的再現、分析，提出了“合情推理”的思維模式。

在《怎樣解題》[1]一書中他指出：“數學具有兩個面，它既是歐幾里得的嚴謹的科學，但同時也是別的什么。”這里的別的什么，指的就是合情推理。

從解題的角度（雖然顯得比較應試，但我們應該要意識到解題就是從某種程度上研究數學問題）看，無論是證明題還是解答題，所有答案都需要我們用嚴謹的因果關系來書寫，這是數學的第一個面——演繹推理。但是在學習的過程中我們也應該注意到，很多時候我們解決不了一個問題，不是因為不懂得如何嚴謹地書寫，而恰恰是不知道如何找到解題的思路。嚴謹的書寫是內斂的由因導果，當我們確定了大體方向之后，書寫變化基本不大。但是我們拿到題目探索思路卻更發散，哪怕同一個條件也可以有豐富的聯想。把這些紛繁復雜的聯想進行整合的過程，其實就是我們所說的合情推理。或者說得更直白一些，就叫猜想。

猜的現狀

可能你沒有意識到，但是幾乎所有需要一些思考的數學問題都對你的猜想能力提出了要求。那么我們現在對高中生的猜想能力培養得如何呢？誠然，教材設置了專門的章節來教授合情推理，但是我想一般的學校可能在整個高中三年也只會留一兩個禮拜的時間來教授。這顯然與其在數學中的地位極不相稱。

可能有人會說：“那好辦啊，現在的高中基本高三整個一年都在復習，多給幾個禮拜還不夠嗎？”這……當然不夠。或者應該說，這不是課時的問題。前述已明，猜想存在于每個需要思考的數學問題之中，那么我們的教學自然也應該存在于每個數學問題之中才對。

猜的模式

教材中涉及的合情推理內容，基本就是歸納推理與類比推理兩塊。讓我們回到“開山祖師爺”波利亞那里，他老人家確實非常強調歸納與類比這兩個手段，在他的三個姊妹篇《怎樣解題》《數學與猜想》[2]和《數學的發現》[3]中多次提及。但是合情推理畢竟是發散性的猜想，飄忽不定才是它應有的面貌。其實，這個問題也早有前輩論及。比如《波利亞合情推理的成功與不足》[4]一文中就指出：“通過進一步考察他（波利亞）所組織的反映其合情推理的案例，可見合情推理主要包括歸納、審美和間接實證等幾個方面。”這里簡單解釋一下審美。好比門外漢和專家一起看青花瓷，門外漢多半形成不了聯想，但是專家往往可以通過各種蛛絲馬跡來猜測它的真贗、年代、產地等等。數學問題也是一樣，很多老師能夠在未經演算的情況下就大體判斷出某想法是否可行，這就是數學審美。所以筆者斗膽將合情推理模式描繪成這樣一個場景：在數學審美的指導下，進行類比、歸納或其他猜想，得出猜想一;然后，繼續在數學審美的指導下，進行類比、歸納或其他猜想，得出更可信的猜想二……如此持續到幾近完美。之后的事就交給演繹推理了。

猜的實戰——歸納推理

只有泛泛而談未免單調。筆者分享一個在教學過程中的實例來輔助說明：

此題求前2012項和，關鍵點當然在求出通項公式，也就要對遞推關系式作處理。看似不難，但是在初學階段，學生往往難以一蹴而就地想到正確解法。毫不夸張地說，在普通一點的學校，能不能有一小半的學生構造成功都是存疑的。那么對于大多數學生來說，聽老師講課未免有些望山跑馬了。

對于那些沒有一點想法的學生來說，打擊太多甚至會讓他們漸漸失去對數學的興趣。我們可以試著讓他從“猜”開始。

直接構造數列的通項公式太難，那么我們能不能試著猜出來呢？通項公式是項值與項數的關系，那么只要計算幾項，應該就能發現規律了。

怎么樣，是不是很容易操作。容易就對了，我們在沒有降低題目難度的同時，讓學生更容易得到答案，獲得成就感，也就免于失去對數學的興趣，對學習的興趣。這就是猜的第一個好處：比解題容易，讓更多學生能夠參與。

猜的實戰——審美加成

可能有人會說，這不是辦法啊。這個通項公式畢竟是“猜”到的，不符合數學的嚴謹性。確實如此，不僅我們老師，只要學生有一點上進心的話也會知道這樣其實是不妥的，這將在后續的學習中激勵他更進一步。

可能你會說“這兩個方法差別不大”。但只要學生足夠有心，就一定會擔心將來的問題，直接進行猜想可能會遇到猜不出的情況。學生就會嘗試培養自己的數學審美，或許他并不知道這個詞，但是實質上他會在這個方向努力。我們可以說，猜其實也是一種提高數學審美的絕佳手段。

猜的終結——歸于不猜

當我們在日常教學中積極引入猜想之后，這道本來只能啟發一小半學生的題目，就變得人人能從中受益。其背后的成就感，激發的靈感、興趣都是不可估量的。

猜的后言

老師或許會很擔心，如果教學生來猜答案，會不會讓學生懶于思考。或許真有老師嘗試了這種教學策略之后發現有一半的學生都沉浸在第一個階段似乎也沒有進步的跡象。但你要知道，不然的話，這些甚至更多的學生會步入對遞推關系，甚至對數學的恐懼之中。雖然算不得，但是猜了個大概，足以讓很多學生寬慰。而我們也不應該希望有這么一種辦法能讓全部學生一定時間內取得最好的學習成就。畢竟我在前文的行文中也強調了諸如“有一點上進心”“足夠有心”等字眼。但是對于上進的有心的這部分學生，當他最后發現，猜想的答案離標準只差這么微小的一步，他怎么可能會放棄學習呢？當數學審美達到一定程度時，就會從量變到質變——完全解出題目。畢竟完全解決一個問題比大致解決更能給人以興奮。

當我們回顧整個過程不難發現，雖然“猜”聽上去就不上臺面，但是猜給我們帶來了解題的“興奮”。正是這種興奮，挽救了那些在數學面前弱小又無助的學習信心，提升了那些在轉化條件時的數學審美，并最終將學生送入“不猜的境界”。文筆拙劣，非敢言能補正前賢之缺失也。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]G·波利亞.數學的發現：對解題的理解研究的講授[M].北京：科學出版社，1981.

[3]G·波利亞.數學與猜想：數學中的歸納與類比[M].北京：科學出版社，2001.

[4]孫名符，蒙虎.波利亞合情推理的成功與不足[J].數學教育學報，1998，7（3）：43-46.

編輯 李琴芳