例談分類討論思想在高中數學教學中的應用

馬春燕

摘 要：在高中數學教學中，數學思想的應用起到了不可忽視的作用。其中，分類討論思想的應用最為常見。究其原因，主要是因為分類討論思想在數列、概率、函數等數學問題上，可以有效幫助學生開拓思路，從而提高學生分析問題的能力和邏輯思維能力。因此，掌握分類討論思想對學生來說有著重要的現實意義。以高中數學教學為出發點，簡單說明了分類討論思想在高中數學教學中的應用原則，并在此基礎上提出相關應用策略。

關鍵詞：分類討論思想;高中數學教學;應用

數學課程貫穿了整個高中階段，其重要程度不言而喻。在以往的高中數學教學中，教師會比較關注學生的數學成績，完全按照教材進行教學，從而忽略了對教學思想的應用，導致數學解題缺乏創新，過于死板。但是，新課程改革后，傳統的教學方法已不再適用于高中數學教學。鑒于此，筆者認為在高中數學教學中，教師應靈活運用數學教學思想，引導學生解決問題。而分類討論思想可以把數學問題分解成多個不同的小問題，通過對小問題的研究解決，從而解決整個數學問題。因此，教師要在高中數學教學中善于應用這一數學思想。

一、分類討論思想在高中數學教學中應用的原則

（一）整體的完整性

在高中數學教學中，教師在應用分類討論思想時應注意整體的完整性，即使在把數學問題進行分解后，也要保證所有小問題加起來能夠還原，并且不多不少。否則，分類討論思想就會產生一定的缺失。例如在分析立體幾何圖形時，首先可以把其分解成為點、線、面，把這三個要素作為立體幾何圖形的解題線索。其次，在此基礎上，再次分解成線與線之間的關系、點與點之間的關系、面與面之間的關系、線與點之間的關系、線與面之間的關系、點與面之間的關系。這樣一來，立體幾何圖形中的問題就會全部解決。

（二）分類各項的相斥性

在分類討論思想中，所分解出的小問題應相互排斥，且各個小問題之間沒有共融性，絕對不能產生一個內容同時存在于兩個問題中的情況。例如，在圓和線的關系中，若是分析其相交性，則必須運用相應的計算公式，而不能運用相離公式。這一分類原則要明確，不能讓相交與相離同時共存。

（三）分類層級的遞進性

針對數學問題應用分類討論思想時，應根據實際問題進行層次化分解。分解出小問題后，在此基礎上繼續分解，直到分解到不能分解為止。而每個小問題在分解之后又相互關聯，存在明顯的遞進關系。同時，它們又同屬于一個大問題，即分類層次的遞進性。

二、分類討論思想在高中數學教學中的應用策略

（一）在基礎數學知識教學中應用分類討論思想

課堂教學中，教師在教材內容的講解上往往會花費大量的時間。而分類討論思想卻是一個由淺入深的過程，需要教師對教材內容進行合理設計，一點一滴地教授給學生，引導學生深入了解分類討論思想的內涵，進而發揮其積極作用。比如，在教學“直線和圓的位置關系”時，教師就可以利用分類討論思想引導學生進行學習。首先，教師可向學生提問圓和直線共有幾種位置關系，在得到學生的回答后，教師應繼續提問如何對圓與直線的關系進行判斷，引導學生自主把圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線方程Ax+By+C=0放在一起進行求解。或者是通過圓、圓的半徑、直線的距離三者之間的聯系來判斷。最后，教師再帶領學生找出解決問題的關鍵所在——對直線和圓所有可能發生的情況進行分類，展開細致討論。經過這樣的一番引導，學生會對分類討論思想產生更深層次的認識。

（二）在集中類型教學中加強分類討論思想的應用

分類討論思想除了在應用上有一定的原則性外，還會在一些特殊的題型中頻繁出現。對于這一點，教師要在教學中及時總結，把與分類討論思想相關的題型標記出來，并為學生進行細致講解，幫助學生對這部分內容掌握得更加牢固。實際上，分類討論思想在三類題型中最為常見，分別是與三角形相關的題目、與數相關的計算題目、與圓的位置相關的題目。通過總結，教師要讓學生引起重視，并對這類型習題進行專項訓練。教師在訓練過程中，要求學生認真細心，進行分類討論、細致分解，避免出現“漏解”的情況。

（三）在試題分析教學中明確分類討論思想

在檢驗學生對分類討論思想的掌握程度時，進行試題分析是最好的方式。因此，教師可以在高中數學教學中把握好試題講解機會，向學生明確分類討論思想。在試題分析中，既可以鍛煉學生運用分類討論思想的解題能力，又可以幫助學生了解自身在解題中的誤區，及時糾正，從而形成正確的分類討論思想。比如數學問題：“通過集合A1、A2，使A1∪A2=A的條件滿足，則必須把（A1，A2）看作A的分解，分析A共有多少分解方法？”首先，教師應讓學生把可能出現的情況羅列出來，進行分析。其次，教師對學生在分析過程中出現的問題進行講解，糾正學生的錯誤之處。最后，由教師帶領學生進行總結，幫助學生對分類討論思想進行明確，從而構建正確的解題思路。

參考文獻：

[1]謝星恩.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].學苑教育，2019（9）：52.

[2]史雪梅.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數學大世界（上旬），2018（2）.

編輯 李 爭