畫數學：讓思維看得見

王菊 王建文

摘 要：“畫圖”是一種基于兒童的可視化學習方式。在教學中，教師通過“畫圖”的形式刻畫數學問題，進行表達、示范、解釋、構建等教學活動，使學習方式得到優化，提高學生畫圖能力，促進問題解決能力和思維能力的提升。

關鍵詞：畫圖;可視化學習;思維刻畫

“幾何直觀”作為十大數學核心概念之一，提倡利用圖形描述和分析問題，借助它可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。因此，加強示意圖教學成為貫徹幾何直觀新理念的重要抓手。畫圖，作為一種策略來教給學生，學生可以根據自己的需要畫圖，用圖表示自己理解的數量關系，以解決問題，它的導向是“能畫圖盡量畫”。學生在各種形式的圖形分析和解決問題的過程中提高數學素養。

一、畫圖成為一種自發的需要——“畫一畫就明白了”

第二學段的數學問題開始抽象化，很多復雜的問題的理解和分析更需要圖的支撐和輔助。但是，這些圖往往是教師主動提供的，是教師迫不及待畫給學生看的，不是源自學生內心的需求，因此，當遇到這樣的問題時，教師需要等一等，讓畫圖成為學生自己的需要。

例如在長方體、正方體解題練習中，“將長方體沿著高截去3厘米，就變成了一個正方體，表面積減少了60平方厘米，求原來長方體的體積”。這個問題對于一般學生來說很難，學生直接讀題后，發現有點說不清、道不明，他們能想到長方體去掉一節的畫面，但是找不到表面積之間的關系。“一下子想不到辦法怎么辦”，在坦然面對困難的情況下，就需要一種策略幫助自己理解題意，厘清思路，誘發學生產生心理需要。此時學生想起了畫圖，主動采用畫圖的策略，為自己的思維提供拐杖。

二、積累畫圖的技巧——“圖，可以這么畫”

遇到困難時，學生有了畫圖的需要，但苦于平時沒有掌握基本的畫圖技巧，就會有心無力，想畫也畫不了。因此，在教學環節中，教師要給予適切的畫圖指導，讓學生在經歷圖式表征的過程中掌握畫圖技巧，積累畫圖經驗。

1.正確范畫指導，體驗圖的形成過程

在剛學習畫示意圖時，尤其是學習能力弱的學生不知道從哪下手，如何去畫，因此教師的指導、示范就尤為重要。（1）指導學生跟教師一步一步來畫，找數量關系。要提高學生標注信息和問題的能力，也要滲透圖形的比例大小和數字大小之間的關系把握。在教師示范畫出以后，讓學生仿照重畫一遍。（2）學生可邊畫邊講，或畫好后互相講解。教師在巡視過程中對有困難的學生一定要給予耐心的指導。（3）學生掌握了一定的技能后，可以放手讓學生自己去畫，教師給予適時的點撥。組織學生在分組交流或全班交流中講清這樣畫圖的道理。教師通過對比，一定要讓學生體會用圖解題的直觀、形象，體會簡潔、方便、易理解的特點。

2.建立輔助解題類畫圖標準

很多情況下，當學生拿起鉛筆準備畫圖的時候，他們總是左手配一把尺子，根據題目信息精準畫圖。這樣往往需要大量的時間。當老師準備開始反饋時，他們的圖還沒有畫好，影響了教學的效率。對于輔助解題類的畫圖，不需要非常精準，但也不能隨心所欲，教師需要給學生建立一個合適的標準。

練習題：一個長6厘米，寬4厘米，高5厘米的大長方體，鋸成棱長2厘米的小正方體，可以鋸多少塊？教師讓學生自主動手畫圖驗證。此時，有的學生拿出尺子開始精確畫圖;有的學生寥寥數筆畫個草圖;也有的學生不知從何入手，抓耳撓腮，東張西望……接下來，我們對學生畫的圖進行了交流比較，建立了畫圖解題的標準：這樣畫圖的目的是幫助我們理解題意，所以不需要很精確，以免花費較多的時間，但是大致要有：數字上要有一個大小的比例;圖形盡可能接近標準;標注信息很重要。

在交流比較的過程中，建立畫圖幫助解題的標準，有了這樣的標準，既可以加快畫圖的速度，又能幫助我們分析題意，得到自己想要的信息，提高教學效率。

3.用自己能夠表達的方式畫圖

小學階段，我們對學生的畫圖要求不可過高，對于輔助解題的畫圖，只要基本符合問題的數量關系即可。由于每個學生理解水平的不同，在面對具體的數學問題時，我們要因材施教，鼓勵學生用便于自己理解、能夠表達的方式來畫圖表征題意。

例如“一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后覺得有些涼，就兌滿了熱水。又喝了半杯，就出去玩了。他一共喝了多少杯純牛奶？多少杯水？”

生1喝了半杯，加滿水，畫了圈;生2把水和牛奶分開畫了，而且第一次橫著平均分2份，第二次豎著平均分了;生3覺得喝了兩次，只要把這兩次喝的畫出來就行了，這樣比他們簡潔，也省時間;生4是畫線段圖。

畫圖能洞察學生思路，使思維外顯，將他們的想象畫出來，展現他們的思考力。沒有畫圖，哪來的上述精彩，通過畫圖，展現思維路徑，在比較交流的過程中催生更簡潔的方法，尤其是第2、3兩位學生，先橫著平均分畫出，再豎著平均分畫出，其實就是分數乘法算式意義的圖示了。

4.尋找畫圖斷層，開設畫圖拓展課程

在課堂上，教師往往是在習題分析時，為了讓更多的學生聽懂，才開始畫圖，比如解決長方體、正方體的一些表面積和體積問題，如果沒有正兒八經教過學生長方體的三視草圖怎么畫，標注數據有什么講究，那么又怎能期望學生畫出“切切分分”“增增減減”？這就是畫圖技能的“斷層”。要讓學生真正感受到“我要學會畫”，就需要給學生時間，需要一節課一節課地去指導交流診斷練習。基于基礎教育對拓展性課程的要求，可以開設“畫數學”的拓展課程。課程設計主要分兩類：一是作圖基礎類，以圖形與幾何內容為載體;二是輔助探究類，以線段圖、幾何草圖為常用，輔以條子圖、點子圖、方格圖、展開圖、面積模型圖等。

例如五年級下冊“長方體正方體”畫圖課程設計：

第一次活動：畫長方體的三視圖。基于小學生的能力水平，以畫俯視圖為主，畫出長方體上面、正面、右面的三視圖。按無數據、提供長寬高數據、給出一個頂點的三條邊補充畫長方體三個層次進行教學。

第二次活動：畫長方體展開圖。（一四一型、二二二型、三三型）

第三次活動：畫長方體切割圖、拼組圖（從數量：兩個到三個再到多個;從方向：左右到上下到前后再到多方向）

第四次活動：畫長方體挖洞圖（挖在頂點、挖在棱上、挖在面上;挖通和不挖通，多方向挖通）

“畫數學”不論內容和形式都是一個不斷提升的過程，學生從一年級跟著老師畫一一對應的草圖，到三年級跟著老師畫簡單的線段圖，再到高年級自己嘗試畫示意圖，后續的畫圖能力需要前面的動手探究能力和思維分析能力作基礎，并且需要掌握一些正確的畫圖方法。教學分析的過程中，可讓學生運用集體的智慧和力量進行畫圖過程和結果的評析。在方法的對比中，要提高學生標注信息的能力，也要滲透圖形的比例大小和數字大小之間的關系把握。簡單地畫圖，充分發掘“圖形”的教學功能，可以從各方面提升學生的數學素養。

參考文獻：

[1]周菲.數學“童畫”： 讓兒童的思維“看得見”[J].教師，2018（1）.

[2]劉善娜.提升“畫”力，構建“畫數學”學科內部整合課程[J].數學教學通訊，2019（3）.

[3]王慧英.只是畫個草圖而已：六年級上冊“圓環面積”錯例的教學啟示[J].數學教學通訊，2018（5）.

編輯 段麗君