研討式教學法在極限教學中的運用

寧效琦

摘 要：主要介紹了研討式教學法在微積分教學中的運用，通過具體介紹數列極限定義教學中的研討式教學方法，使大家進一步認識到該教學方法在教學特別是數學教學中的有益之處。

關鍵詞：研討式教學;微積分;極限

極限是微積分學的基礎，微分與積分正是借助極限定義得來的。因此，在一般的微積分教材中，最先介紹的就是函數極限的知識。但是，極限的微積分定義極具抽象性，使學生在初次學習時難以理解，從而喪失繼續學習微積分知識的興趣，進一步影響學習的信心。正是這個原因，使得極限內容的教學顯得尤為重要，怎樣使學生更容易接受和理解極限的概念，特別是掌握極限的微積分定義（ε定義），正是本文所探討的主要內容。

在高等數學教材中介紹函數極限時，先以數列極限作為對象，我們可以采取如下研討式教學的方式與學生共同探討得出數列極限的“ε-N”定義。

首先通過研討式教學得到數列的定義。我們知道沒有數列，就沒有數列的極限。為此，我們可以先舉出實例，與學生一起圍繞項數與項的對應關系討論：“數列的定義是什么？”進一步考慮“數列可以看成函數嗎？其定義域是什么？”通過以上問題的思考，引導學生歸納總結得到數列的定義，并進一步明確項數與項的對應關系，幫助學生理解數列是特殊的函數，從而對于任一數列? ，更能體會記號? ? ? ?的含義。

接下來應用研討式教學討論數列的極限。知道了數列的定義，接著就要考慮數列的極限問題。那么，什么是數列的極限，它考慮的是數列的什么性質呢？老師先舉出一些具體的數列，如：? ? ? ? ? ? ? ? ? 。然后，和學生一起借助數列的幾何意義，探討這些數列的變化趨勢。也就是讓學生考慮項數無限增大時? ?，相應的項的變化情況是什么

？進一步引導學生理解：數列的極限問題就是考慮數列的變化趨勢問題。也正因為這樣，數列極限問題是一個動態變化過程的問題。

通過以上具體數列變化趨勢的探討，進一步引導學生將數列的變化趨勢的結論歸為三類：一類是隨著項數無限增大

，項無限趨于唯一確定的常數? ? ;另一類是隨著項數無限增大? ? ?，項無限增大? ? ?;再一類是隨著項數無限增大? ? ，項無穩定的變化趨勢。從而與學生共同觀察發現得到：在這三種變化趨勢中效果最好的，朝著唯一確定的常數變化的趨勢就叫做數列有極限（或收斂），其余均叫做數列無極限（或發散）。

最后運用研討式教學得到數列極限的ε定義。下面，就可以與學生一起討論數列極限的ε定義了。首先，舉出實例? 與? ?，以 與? ?當? ?時極限為0為例，借助數學軟件給學生展示當? ?時， 與? ?無限接近于0的這個極限過程。讓學生從宏觀上理解極限，然后讓同學們討論任意給出的一個數列? 有極限的描述性定義：

當項數n無限增大時，項xn無限趨于唯一確定的常數a.

接下來，我們繼續結合上述實例，與學生共同探討數列極限的精確定量的ε定義。

第一步與學生研討數列極限的描述性定義。與學生一起對照實例研讀極限的描述行定義，使他們知道“當項數n無限增大時”是前提，“項xn無限趨于唯一確定的常數a”是結果，定義分為兩段卻又為一整體。

第二步分段量化數列極限的描述性定義。在與學生探討距離問題、參照物問題等實例的過程中，可以將定義中的結論“項xn無限趨于唯一確定的常數a”量化為“對任意ε>0，總有

成立”。然后，從因果關系出發，通過對具體數列? 與

中的ε分別取不同的值，與學生進一步探討，要有定義中的結果，必須以“當項數n無限增大時”為前提，從而量化為“存在某一N>0，當n>N時”。這樣就實現了數列極限定義的精確量化。

第三步得出數列極限的ε定義。學生們在老師的指導下，通過以上的探討得到任意給定的數列? 極限的精確定量的ε定義[1]：

（正整數），使得n>N時，恒有? ? 成立，則稱? 以常數a為極限，記為? ? ?，或者? ? ? 。

并且，在結合實例的討論中，還可讓同學們思考如下問題：符號ε、N怎樣理解，有什么關系？N唯一嗎？kε，ε2，? 等

ε是否一樣？是由哪個性質決定的？ε是否可以加以限制？ε是否可以取特殊值？ε是由哪個性質決定的？N為什么只強調存在性？式子? ? ?是多少個不等式？幾何上如何解釋？進一步加深學生對ε定義的理解。

在課堂上，教師通過問題與教學環節的適當設置，使學生以極大的興趣參與到教學中來，大膽的發表自己的想法，主動積極的思考問題，真正成為課堂知識學習的主體。教育的目的并不是要讓學生機械被動的接受知識，最重要的是讓學生對學習抱有興趣，學會思考，積極提出問題，認真學習相關知識，進而解決所遇到的問題。在微積分中，研討式教學法可以實現讓學生主動學習的目標，使得學生對微積分的學習不再畏懼，敢想敢學，更能培養他們提出問題、分析問題、解決問題的能力。因此，研討式教學方法的推廣使用將有助于學生學習效果的提高，從而為國家培養出更多的優秀人才，促進祖國的建設發展。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.微積分[M].北京：高等教育出版社，1999.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]國防科學技術大學理學院.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版，2007.

[4]復旦大學數學系.數學分析（上冊）（第三版）[M].北京：高等教育出社，2011.