逆向思維方法在高等數學中的應用

錢寶英

摘 要：逆向思維做為與正向思維相對應的思維方法，在我們分析和解決數學問題中同樣有著舉足輕重的作用.運用反推思考、間接思考、反證法和舉反例等逆向思維方法，在解決數學問題時往往能取得意想不到的效果.逆向思維有利于克服定勢思維的保守性，本文擬探討高等數學中的逆向思維方法，通過相關的論述來說明逆向思維方法在高等數學中的應用.

關鍵詞：逆向思維;構造法;反證法;舉反例;間接法

數學中的逆向思維是發散思維的一種重要形式，它是從習慣思維的相反方向（或另一面）去進行思考分析問題，常常表現為逆用定義、逆用定理、逆用公式、逆用法則、舉反例等，從而達到解決問題的目的。

一、定義的逆用

數學中被定義的概念和下定義的概念其外延完全相等， 因而兩者的位置可以互換，這就應從正反兩方面加深對定義的理解.恰當利用定義的“可逆性”，可使解題靈活簡捷.

例（利用定積分的定義求極限）求極限

2.定理的逆用

數學定理有可逆的和不可逆的， 對可逆性定理我們可以直接通過逆用來解決數學問題.

例 行列式中的定理：行列式等于它任意一行的所有元素與它們的對應代數余子式的乘積之和.即

其中Aij為D中元素aij的代數余子式.

上面的式子從左向右看是行列式D按第i行展開，從右向左看即是還原，還原后的行列式第i的元素依次為Ai1，Ai2，…，Ain前面的那些數（即ai1，ai2，…，ain）而其余各行元素由這些代數余子式所含的那些行確定.因此，當j≠i時， 有

即得定理：行列式的一行所有元素與另外一行的對應元素的代數余子式乘積的和等于0，由此可見此定理是逆用上面的定理而得來的。

（三）公式的逆用

例 式子? ? ? ? ? ? ，順用就是矩陣乘法，

逆用就是矩陣分解形式. 實際上逆用這一公式很容易證明[2]中“線性空間V上雙線性函數f關于V的兩組基的矩陣是合同的”.

事實上，設線性空間V上線性函數f關于V的兩組基ε1，ε2，…，εn與η1，η2，…ηn的矩陣分別為A=（aij）與B=（bij），且（η1，η2，…η）=（ε1，ε2，…，εn）C，則

其中，Ci為C的第i列（i=1，2，…，n），所以B合同于A.

（四）法則的逆用

例兩個多項式中只要有一個為零，那么它們的積等于零. 有其反面，若兩個多項式的積為零，則這兩個多項式中至少有一個為零.由此易得多項式乘法滿足消去律，即：若

且? ? ，則? ? ?.事實上，由已知有

即? ? ? ? ?，而? ? ，所以

即? ? ?.

（五）恒等式的逆用

對恒等式的使用常習慣于從左到右，即正向恒等式.但是， 如果將恒等式逆向處理，即從右到左使用，不僅能使運算變得簡潔，而且運算方法也會變得靈活和巧妙，對一些特別麻煩的問題，逆用恒等式來處理常能收到較好的效果.如? ? ? 在三角恒等式證明中及不定積分等計算中都有廣泛的應用.

例求

解