尋圓錐曲線的“源”與“流”

林月理

摘 要：探究2019年高考數學全國Ⅲ卷（理科）21題第（1）小題，分析題目背景，進而進行推廣，從特殊到一般，尋求根源，理順規律，得到一系列的統一性質。探究出試題中數學問題所蘊含的本質阿基米德三角形，拓展出阿基米德三角形的一些性質，并舉例說明阿基米德三角形的性質在解決近幾年相關高考題中的妙用。

關鍵詞：2019年全國Ⅲ卷（理科）21題;高考解題;推廣研究;圓錐曲線;問題本質;阿基米德三角形。

近年來各地高考試題中，圓錐曲線問題，尤其是圓錐曲線中的定點、定值問題，始終是考題中的熱點、重點、難點問題。圓錐曲線問題信息量大，綜合性強，靈活性高，能比較全面地考查學生的數學核心素養，在高考試題中有著重要的作用。本文通過對2019年全國Ⅲ卷（理科）21題第（1）小題進行探究，逐步發現并解決問題，推廣和深化試題的結論，最終探究出試題中數學問題所蘊含的本質阿基米德三角形，進一步探究圓錐曲線中過一個焦點的阿基米德三角形的統一性質，并舉例說明這些性質在解決近幾年相關高考題中的妙用。

一、真題再現

2019年全國Ⅲ卷（理科）21題

題目 已知曲線C：? ?，D為直線? ?上的動點。過D作曲線C的兩條切線，切點分別

為點A、B。

（1）證明：直線AB過定點;

（2）若以? 為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE

的面積。

接下來，本文就該題的第（1）小題展開研究。

證明：設? ? ? ? ，則

曲線C在點A處的切線DA的斜率為? ?，所以

整理，得? ? ?。同理，對于直線DB有

因此直線AB的方程為? ? ? ，所以直線AB經過定點? 。

二、推廣研究

本題中，觀察到直線所經過的定點? 恰為該拋物線的焦點，而動點D為拋物線C的準線上的一個動點。這一特性是否對一般拋物線成立，下面進行猜想與證明。

結論：對于拋物線C（以? ? ? ?為例）。點D為拋物線C的準線上的一個動點，

過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為點A、B，則直線AB恒過拋物線的焦點。

證明：設? ? ? ? ?。則

因為? ，所以切線DA斜率 ，所以

整理得? ? ? ，同理可得

故直線AB的方程：? ? ?，所以直線AB恒過拋物線的焦點? ?。

上述結論同樣適用于橢圓及雙曲線，限于篇幅，此處不再贅述。

因此，我們可以歸納出以下結論：

設點D是圓錐曲線C的準線上的動點，過D的直線DA、DB與圓錐曲線C分別相切于A、B兩點，則切點弦AB所在的直線必過相應于準線的焦點F。

三、追溯背景，探尋源流

試題背景

2019年高考數學全國Ⅲ卷（理科）21題解題的關鍵是要發掘D點與直線AB之間的聯系。從數學史的角度看，本題中的“? ?”是阿基米德三角形。拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形。2019年高考數學全國Ⅲ卷（理科）21題為過拋物線焦點的阿基米德三角形。

四、拓展研究

阿基米德三角形有很多性質，以拋物線? ? ?為例，拋物線上的兩個不同的點? ? ?，分別以A、B為切點的切線PA、PB相交于點P，我們稱弦AB為阿基米德三角形的底邊。

定理1（1）點P的坐標為

（2）底邊AB所在直線方程

定理2 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過拋物線內一定點? ? ，則另一頂點P的軌跡為一條直線，其方程為

推論1（1）阿基米德三角形底邊上的中線平行（重合）于拋物線的對稱軸

（2）設? ?，則底邊AB的直線方程

推論2 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過拋物線內定點? ?（m>0）

則：（1）另一頂點P的軌跡方程? ?;（2）? ? （定值）

推論3 若阿基米德三角形的底邊（即弦AB）過拋物線的焦點? ?，

則：（1）另一頂點P的軌跡為拋物線的準線? ?;

定理3 阿基米德三角形中

五、阿基米德三角形在高考解題中的妙用

例1（2012高考福建卷文21）

如圖，等邊三角形OAB的邊長為 ，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py（p>0）上。

（1）求拋物線E的方程;

（2）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q。

證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點。

對于第（2）問，注意到直線y=-1是拋物線的準線，根據阿基米德三角形性質推論3（3）可知，

以PQ為直徑的圓恒過定點F（0，1）（F為拋物線的焦點）

證明：由（1）得，拋物線E：x2=4y，設點

切線方程：? ? ? ，即? ? ?，所以

所以以PQ為直徑的圓恒過y軸上定點

例2（2013年高考廣東卷理20）

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為? .設P為直線l上的點，過點P作拋物線 C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）當點? ?為直線l上的定點時，求直線AB的方程;

（Ⅲ）當點P在直線l上移動時，求? ? 的最小值.

分析：由（1）解得拋物線C的方程：

本題中的第（2）問，由阿基米德三角形性質推論1（2）可知，直線AB的 方程：

解;（2）拋物線C的方程為? ?，即? ?，求導得

設? ? ? ?，（其中? ? ? ），則切線PA，PB的斜率分別為

所以切線PA的方程為? ? ? ?，即

同理可得切線PB的方程為

因為切線PA，PB均過點P（x0，y0），所以

所以? ? ?為方程? ? ? ?的兩組解.

所以直線AB的方程為

例3（2018年高考全國理科Ⅲ卷16）

已知點? ?和拋物線? ? ，過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A，B兩點.若? ? ，則k=___.

解：因為? ?在拋物線? ? 的準線上，? ? ?，

所以由阿基米德三角形性質推論3（3）知，

又因為? ? ? ，所以? ? ?，所以

高考試題具有深刻的知識背景，我們要加強對高考試題的深入探究，對其一般性進行推廣，這對于拓展解題思路和尋求更多更好的解題方法大有益處。因此，我們要教會學生掌握問題的本質，反思總結解題的思想方法，進一步提高學習效率，最終達到事半功倍的效果。

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