線性代數(shù)課程矩陣初等變換應(yīng)用的幾點(diǎn)探究

[摘 要]矩陣初等變換是線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)性內(nèi)容，文章通過(guò)對(duì)初等變換的內(nèi)涵進(jìn)行解析，分別從矩陣運(yùn)算、向量組運(yùn)算和方程組求解三個(gè)方面探究矩陣初等變換的應(yīng)用，并結(jié)合實(shí)例對(duì)其應(yīng)用過(guò)程進(jìn)行分析。

[關(guān)鍵詞]初等變換;矩陣;向量組;線性方程組

[基金項(xiàng)目]2018年安徽三聯(lián)學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目大規(guī)模在線開放課程（MOOC）—線性代數(shù)（18zlgc042）;2019年安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目“區(qū)間二型模糊行為決策方法及其在商務(wù)智能推薦中的應(yīng)用”（KJ2019A0887）;2019年安徽三聯(lián)學(xué)院自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目：“二型模糊群決策方法及其在商務(wù)智能推薦中的應(yīng)用”（KJZD2019008）;2019年安徽三聯(lián)學(xué)院星級(jí)教師工作坊項(xiàng)目“大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究”（XJJS201902）;2018年安徽省質(zhì)量工程高校繼續(xù)教育教學(xué)改革項(xiàng)目“應(yīng)用型本科高校繼續(xù)教育課程遠(yuǎn)程化教學(xué)模式改革探析—以高等數(shù)學(xué)課程為例”（2018jxjygg004）

[作者簡(jiǎn)介]王翠翠（1989—），女，安徽宿州人，碩士，講師，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究。

[中圖分類號(hào)] O241.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

矩陣初等變換是線性代數(shù)課程中矩陣的一種重要且基礎(chǔ)的運(yùn)算法則，它是研究矩陣、向量組線性相關(guān)性、線性方程組的解、二次型以及線性空間等內(nèi)容不可替代的工具。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生過(guò)分關(guān)注矩陣初等變換的形式，而對(duì)其內(nèi)涵的理解不夠深入，尤其是對(duì)其應(yīng)用范圍缺乏全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。下面結(jié)合具體實(shí)例，對(duì)矩陣初等變換的應(yīng)用范圍進(jìn)行總結(jié)和探究。

二、矩陣的初等變換

定義1：矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

（1）交換矩陣的兩行（交換i，j兩行，記作ri?rj）;

（2）以一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行（第i乘數(shù)k，記作kri）;

（3）把矩陣的某一行的k倍加到另一行（第j行乘以數(shù)k加到第i行，記作ri+krj）。

把定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（相應(yīng)記號(hào)中把r換成c），初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。同時(shí)矩陣的初等變換逆變換仍是初等變換，且矩陣A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價(jià)，記為A～B。

根據(jù)以上內(nèi)容可以看出，矩陣的三種初等變換方式與行列式的性質(zhì)有類似，但在使用行列式性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算行列式時(shí)，每一步都是可以進(jìn)行相等的變換。而對(duì)于矩陣而言，每進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣與原矩陣之間不是相等的關(guān)系，而是等價(jià)的關(guān)系，因此每一次的初等變換不能用“=”進(jìn)行連接，而是“→”。這地方的不同在教學(xué)中一定要多次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在書寫時(shí)經(jīng)常犯錯(cuò)誤。

三、矩陣初等變換的應(yīng)用

（一）矩陣運(yùn)算中的應(yīng)用

1.求解矩陣標(biāo)準(zhǔn)形。任意非零矩陣行階梯形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形

其中，行階梯形矩陣特征是元素全為零的行均位于矩陣的下方，且各非零行的首非零元的列標(biāo)隨著行標(biāo)的增大而嚴(yán)格增大;行最簡(jiǎn)形矩陣的特征是各非零行的首非零元都是1，且每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是0;等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的特征是分塊后，它的左上角是一個(gè)單位矩陣，其余元素全為0。值得注意的是，行階梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣的化簡(jiǎn)只進(jìn)行初等行變換即可，而最后一步等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的處理根據(jù)題目特征，有的只需要初等行變換即可，有的既需要初等行變換，也需要初等列變換才可以。

2.求解逆矩陣。在求方陣A的逆矩陣時(shí)，將同階數(shù)的單位矩陣E一起構(gòu)建一個(gè)新的矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，當(dāng)矩陣A變成單位矩陣E時(shí)，與此同時(shí)，對(duì)應(yīng)的單位矩陣變成的矩陣即為方陣A的逆矩陣，即

從以上可以發(fā)現(xiàn)，在構(gòu)造矩陣（A E），對(duì)其施行初等行變換化成行階梯形矩陣（A1 B）時(shí)，若矩陣A1中有零行，則A1是不可逆的，否則A1是可逆矩陣。進(jìn)一步將（A1 B）化成行最簡(jiǎn)形矩陣，進(jìn)而給出矩陣A的逆矩陣表達(dá)式。

在實(shí)際應(yīng)用中，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了伴隨矩陣法求矩陣的逆矩陣，但在方陣的階數(shù)較大時(shí)，求對(duì)應(yīng)方陣行列式的代數(shù)余子式計(jì)算量較大，初等變換法判斷矩陣是否可逆以及求逆矩陣就是最優(yōu)的方案了。

4.求矩陣的秩。

定理1：若矩陣A→B，則r（A）=r（B）

此定理表明初等變換并不改變矩陣的秩，因此用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。

對(duì)矩陣的秩求解使用k階子式，對(duì)于較復(fù)雜的矩陣，直接尋找非零r階子式相對(duì)也較困難，計(jì)算量也較大，因此矩陣的初等變換是不二之選。

（二）向量組運(yùn)算中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)時(shí)，我們知道線性代數(shù)中的向量組與矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，每一列向量組或行向量組都可以用一個(gè)矩陣的形式進(jìn)行表示，因此研究向量組的許多問(wèn)題，比如向量組的線性表示，向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩等都可以構(gòu)建矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換來(lái)解決。

1.判定向量組線性表示及線性相關(guān)性問(wèn)題。

定理2：設(shè)同維數(shù)列向量β，α1，α2，…αn，則向量β能由向量組α1，α2，…αn線性表示的充要條件是矩陣A=（α1，α2，…αn）組與=（α1，α2，…αn，β）的秩相等。

定理3：設(shè)有n維列向量α1，α2，…αs，向量組α1，α2，…αs線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的充要條件是矩陣A=（α1，α2，…αs）的秩小于（等于）向量的個(gè)數(shù)s。

由定理2和定理3可知，判定某向量能否由一向量組線性表示及判定向量組的線性相關(guān)性均轉(zhuǎn)化為相應(yīng)矩陣初等行變換求秩之后比較大小的問(wèn)題即可。

2.求解向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組。由于矩陣與向量組之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，任一向量組均可用對(duì)應(yīng)矩陣表示，所以向量組的秩求解可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)矩陣進(jìn)行初等行變換求秩。同時(shí)，在對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣時(shí)，首非零元所在列的向量是線性無(wú)關(guān)的，且任一向量也可由此線性無(wú)關(guān)的向量組線性表示。于是，線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)成的向量組可以為該向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，再次說(shuō)明初等變換在這里起著非常關(guān)鍵的作用。

例題2：已知列向量，，，，求向量組：α1，α2，α3，α4的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

解：令A(yù)=（α1 α2 α3 α4），對(duì)矩陣A作初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形矩陣得，

A=（α1 α2 α3 α4）=（5）

由上述矩陣可知，r（A）=3，且非零行所在的列是第1，2，3列，因此向量組α1，α2，α3，α4的秩為3，且一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是α1，α2，α3。

在實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生使用矩陣的初等變換解決向量組的諸多問(wèn)題時(shí)，為避免學(xué)生對(duì)初等行變換與初等列變換之間混亂，統(tǒng)一成“列向量，行變換”，行向量組的諸多問(wèn)題全部轉(zhuǎn)化為列向量問(wèn)題進(jìn)行解決。

（三）線性方程組中的應(yīng)用

1.求解齊次線性方程組。齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的矩陣方程形式為AX=O，首先將系數(shù)矩陣化為行階梯形矩陣，便可直接判斷出是否有非零解，若有非零解，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其全部解。

2.求解非齊次線性方程組。非齊次線性方程組對(duì)應(yīng)的矩陣方程形式為AX=B，若矩陣A為方陣且可逆，則可轉(zhuǎn)化利用逆矩陣方式求解。而一般情形下，常用方法是將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，便可直接判斷出是否有解，若有解，繼續(xù)進(jìn)行初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其全部解。

在講解矩陣的初等變換法求線性方程組問(wèn)題時(shí)，先易后難，先認(rèn)識(shí)線性方程組的同解變換，再通過(guò)簡(jiǎn)單的線性方程組實(shí)例給出解的形式，有的可以使用克萊姆法則判定，有的不可以，進(jìn)而給出一般情形下的線性方程組解的討論。從多個(gè)角度來(lái)探討線性方程組的解與系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩之間的關(guān)系，解決線性方程組是否有解，有多少個(gè)解，解是什么。使學(xué)生深刻理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)特征以及初等變換法對(duì)一般情形下的線性方程組求解的優(yōu)勢(shì)。

矩陣初等變換除了可以應(yīng)用于上述問(wèn)題外，在求解方陣的特征值和特征向量、二次型和多項(xiàng)式等方面也有所應(yīng)用。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生比較偏向于使用行與行之間的變換，缺乏對(duì)列變換的練習(xí)。因此，為避免學(xué)生發(fā)生混淆，導(dǎo)致對(duì)矩陣化簡(jiǎn)和變換錯(cuò)誤，可引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握初等行變換各種類型的應(yīng)用。尤其是在變換行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣，求逆矩陣和線性方程組解時(shí)只需進(jìn)行初等行變換，而在求解向量組的線性表示和線性相關(guān)性問(wèn)題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生“列向量，行變換;行向量，量轉(zhuǎn)化，行變換”的方法加以解決。

四、結(jié)束語(yǔ)

矩陣初等變換貫穿于整個(gè)線性代數(shù)課程的教學(xué)過(guò)程，因此，在教學(xué)工作中，教師如何講解矩陣的初等變換，使學(xué)生理解初等變換的內(nèi)涵及其應(yīng)用范圍尤為重要。教師一定要因材施教，根據(jù)學(xué)生理解的不同程度，分層布置作業(yè)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)此知識(shí)的理解和掌握，進(jìn)而為后續(xù)知識(shí)和相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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Abstract： Matrix elementary transformation is the basic content of the Linear Algebra course. By analyzing the connotation of elementary transformation， the paper explores the application of matrix elementary transformation from the three aspects of matrix operation， vector group operation and equation group solution， and analyzes its application process with examples.

Key words： elementary transformation; matrix; vector group; linear equation group