引入交換圖研究線性映射的像與核

孟 磊，吳修云，王 練，彭文宇

(湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425000)

1 研究背景

設V,U是屬于K上的n維和m維線性空間，φ是從V到U的線性映射，φ的全體像組成的集合稱為φ的值域，用Imφ表示。所有被φ變成零向量的集合稱為φ的核，用Kerφ表示。用集合的記號表示則有Imφ={φ(α)|α∈V},Kerφ={α|φ(α)=0}，容易證明線性映射的像是U的子空間，線性映射的核是V的子空間。當U=V時，φ被稱為是V上的線性變化。

線性映射的像與核是代數學中兩個重要的概念，又是兩個重要的子空間，也是數學系必修課程高等代數中的一個難點內容。像與核的概念比較抽象，學生難以深刻洞悉其結構，現行教材中對Kerφ與Imφ的討論非常少。一些學者也從不同角度對像與核的結構做了一些介紹。安軍利用同構關系與解析方法研究了像與核的基和維數，并舉了一些例子闡明其應用，給出了在V=U的情況下，V可以分解為像與核的直核充要條件[1]。趙冠華從Imφ的一組基出發，用初等變換法求出了Kerφ的一組基[2]。像這樣有關像與核的介紹還有很多[3]。

交換圖是本科代數學習階段能遇到的為數不多的一次應用，現引入交換圖來研究線性映射的像與核，將線性映射的像與核結構問題直接轉化為矩陣的結構問題，使抽象的線性映射的像與核問題直觀化，為研究像與核問題提供一種新的思維方式。

2 交換圖結構

設V,U是屬于K上的n維和m維線性空間，e1，e2，…，en為V的一組基，η1，η2，…，ηm為U的一組基，φ為V到U的線性映射，且φ(ε1,ε2,…,εn)=(η1,η2,…,ηm)A， 交換圖如圖1所示。

圖1 交換圖Fig.1 Interchange graph

以上就是交換圖的基本構造。

在交換圖中，將V中的任意向量α變到Km×1中都存在著兩條等價的路徑，Λσ1(α)=σ2φ(α)，下面的定理將說明這一點。

定理1：

在交換圖中，Λσ1=σ2φ

證明：

只要說明對任意向量α∈V，Λσ1(α)=σ2φ(α)即可。

這說明在交換圖中，任意向量α∈V,先經過σ1變到Kn×1、再經過Λ變到Km×1的結果與先經過φ變到U、再經過σ2變到Km×1是一樣的。

3 由交換圖得到的兩個結論

定理2：

在交換圖中，有σ2(Imφ)=ImΛ,σ1(Kerφ)=KerΛ

證明：

①在交換圖中，σ2是U到Km×1的同構映射，則

σ2(Imφ)=σ2(φ(V))

=σ2φ(V)=Λσ1(V)(由定理1，σ2φ=Λσ1)

=Λ(σ1(V))=Λ(Kn×1)

=ImΛ

②對?α∈KerΛ，在交換圖中，σ1為V到Kn×1的同構映射，則存在β∈V，使得σ1(β)=α，兩邊用線性映射Λ作用，則

0=Λ(α)=Λ(σ1(β))

=Λσ1(β)=σ2φ(β)(由定理1：σ2φ=Λσ1)

=σ2(φ(β))

又因為σ2是同構映射，自然也是單射，則φ(β)=0，β∈Kerφ，則α=σ1(β)∈σ1(Kerφ)。反過來，對任意向量α∈σ1(Kerφ)，則存在向量β∈Kerφ，使得α=σ1(β)，兩邊用線性映射Λ作用，則

Λ(α)=Λ(σ1(β))

=Λσ1(β)=σ2φ(β)(由定理1：Λσ1=σ2φ，且β∈Kerφ)

=σ2(0)=0

所以α∈KerΛ

4 交換圖的應用

從定理2可以看出，可將σ2看做是U的子空間Imφ與Km×1的子空間ImΛ上的同構映射。在交換圖中，ImΛ等于矩陣A的列向量組生成的空間，用初等變換的方法找出矩陣A列向量組的極大無關組就是Imφ的一組基對應的坐標。同理，可將σ1看成V的子空間Kerφ與Kn×1的子空間KerΛ上的同構映射，KerΛ等于齊次方程Ax=0的解空間, 解出KerΛ的一組基就對應Kerφ的一組基的坐標。

本研究提到的交換圖σ1,σ2都是同構映射，對于σ1,σ2不是同構映射的情況，其情況要復雜得多。