偏微分方程中熱傳導模型的建立與求解

楚智媛

（吉林醫藥學院，吉林 吉林 132000）

1 偏微分方程

1.1 偏微分方程的起源與發展

偏微分方程最早起源于18 世紀，當時歐拉提出了弦振動的二階方程，它是最早的偏微分方程。到了19 世紀，偏微分方程這門學科漸漸的發展起來，法國數學家傅里葉在《熱的解析理論》中描述了熱流動的問題，它給出了著名的傅里葉解法來求偏微分方程，同時他也是最早提出三維空間的熱流動問題，他的解法為推動偏微分方程這門學科的發展貢獻了巨大的力量。可惜的是，他當時只給出了一些解，但是沒有證明解的收斂性。到了20 世紀，隨著泛函分析等一些學科的發展，推動著偏微分方程的巨大發展。蘇聯的數學家索伯列夫擴大了對解的概念的理解，提出了廣義函數的概念，繼而法國的著名數學家洛朗·施瓦茨深入學習和研究，讓偏微分方程這門學科又有了進一步的發展。

數學史上有許多著名的偏微分方程例如：不可壓流體的不可壓Euler 方程、幾何學中的極小曲面方程、電磁學理論中的Maxwell 方程組、廣義相對論中的Einstein 方程等。其實很多偏微分方程不僅跟數學有關，更多的是和物理相關的內容，由此可見，偏微分方程理論與求解在推動社會科技進步與發展中起著至關重要的作用，因此我們對求解偏微分方程的研究和求解從未停止過。偏微分方程的求解一直是數學家潛心研究的領域，因為它極其復雜，有的方程是無法給出具體的解析解的，所以還有很多偏微分方程是在論證解的存在性，然后通過其他實驗或者是數值解法進而給出一個可能滿足某偏微分方程的解。

1.2 偏微分方程的預備知識

偏微分方程就是指給出的方程當中含有未知函數及其偏導數的函數方程。偏微分方程都是指的多元函數，如果一元函數的話那就是常微分方程。我們之前在學習常微分方程的時候知道，如果常微分方程要是有解則它必有無窮多個解，那么拿到偏微分方程中來看的話，可以知道偏微分方程的通解也會含有任意元素。但是隨著我們的求解會發現，偏微分方程是很難求解的，有的甚至給不出通解的表達式，于是才有數學家會退而求其次證明解的存在性。我們一般研究的是二階偏微分的求解問題，那么二階線性偏微分方程的基本形式如下：

式中：L為線性偏微分方程算子，x為自變量，i，j表示正整數，xi，xj代表分量，m為正整數，Rm為實數域，aij（x）二階偏導數的系數，bi（x）為一階偏導數的系數，c，u，f都是關于自變量的函數，f在偏微分方程中稱為自由項，當f=0 時是齊次二階線性偏微分方程組，當f≠0 時稱為非齊次二階線性偏微分方程組。二階偏微分方程一般分為橢圓方程、拋物方程、雙曲方程3 種。那么如何確定二階偏微分方程的類型呢，我們可以使用二階項數的系數矩陣來確定。如果系數矩陣是正定的或者是負定的，那么它就是橢圓方程。如果系數矩陣是半正定的或者是半負定的，那么它就是拋物方程。如果系數矩陣是不定的，那么它就是雙曲方程。其中橢圓方程與時間t無關，稱為穩態方程，拋物方程和雙曲方程與時間t有關，所以稱為發展方程。

1.3 二階偏微分方程的定解問題

這里我們以發展問題為例，要想讓偏微分方程有唯一的解，我們需要給這個方程加上一個初值條件和邊值條件。邊值條件中有3 種類型：

Dirichlet 邊界條件（第一邊值條件）

Neumann 邊界條件（第二邊值條件）

Robin 邊界條件（第三邊值條件）

式中：Ω 為邊界，n是上每一點的外法向，為邊界分布，α表示系數。

二階偏微分方程、初值條件、邊值條件3 個元素共同構成了定解問題。

2 熱傳導模型

熱傳導[1]是指介質內無宏觀運動時的傳熱現象，更嚴格的說是指固體中才是真正的熱傳導。熱傳導是指物體或者系統內存在著溫度差，熱量可以從溫度高的地方流入溫度低的地方，其中熱傳導的速率由物體內溫度場的分布情況所決定。我們通過熱傳導模型建立偏微分方程，偏微分方程的解可以刻畫出熱量傳遞期間函數的變化情況。熱傳導問題是描述在某個特定的區域內，溫度是如何隨時間發生變化的。熱傳導模型分為一維和三維的，該文我們將以一維熱傳導模型為例，給出方程的推導過程。令x為位置，t為時間，為x位置在t時刻的溫度，Q為熱量，設一維桿的截面面積為S，體積為V，我們根據能量守恒定律和傅里葉熱傳導定律能得出下面的式子。

由能量守恒可知，從t1時刻到t2時刻熱量的變化為

式中：c為單位質量的物體改變1 ℃所需要的熱量即為比熱，ρ為密度，兩邊同時取三重積分則為

再由傅里葉熱傳導定律得到，從t1到t2時刻通過物體的熱量為

其中n為外法向，再由高斯公式推導可知一維熱傳導模型公式[2-3]為：

同理，我們還可以把熱傳導模型推導到三維空間上，該文我們就不再過多贅述了，其方法和一維熱傳導方程的推導過程相同，因此三維熱傳導模型公式為：

3 利用差分法求解一維熱傳導方程問題

導數實際上就是極限值，我們想用差商來代替微商，于是使用差分法來求解偏微分方程問題。差分法[4-5]是一種解決微分方程的近似解法，能夠給出近似解。它是通過有限次差分來近似導數，從而尋求方程的近似解。用更簡單的一句話來說就是把導數用有限差商來替代，從而把方程和邊界條件近似地改成差分方程來表示，把微分方程的問題改成代數方程的問題。綜上，就是用差商來近似代替微商，公式如下：式中：y（x）表示在點處的函數值，y（x+Δx）表示在x+Δx處的函數值，Δx表示增量，d 是導數的符號。此外，在使用差分法求解一維熱傳導問題時，我們還要知道泰勒公式和一階中心差商公式，具體公式如下：

式中：f為函數，x為自變量，h為增量，d為一階導數，d2為二階導數，d3為三階導數2!=2×1，3!=3×2×1，Δf，表示差分，表示自變量的增量。由此，我們可以根據上述2 個公式推導出二階中心差商公式，如下：

差分法求解的具體過程如下。首先，知道求解區間，規定整個模型的長度為l，然后把求解的區域離散化，將變量x進行n等分（h為x方向上的步長），變量t進行m等分（τ為t方向上的步長），給出相應的坐標表達式：

式中：xi表示x的第i個分量，tk表示t的第k個分量，T為總時間。根據上述的離散化，我們將整個區域分成若干個小網格，我們要求每個網格節點的函數值，然后套用差分法來求解偏微分方程的解，這里為了我們今后書寫方便，我們給出簡化記法：

其次，化簡一維熱傳導問題

由此我們可以看出，這個區域的每個網格節點處的函數值都可以用與它下方相鄰的3 個點的函數值來給出。綜上，一維熱傳導模型問題的差分法為：

最后，根據上述迭代公式，我們可以使用相應的數學軟件，例如MATLAB 來編程，進而求解出偏微分方程的解析解。

4 結語

偏微分方程在數學學科當中有著非常重要的地位。因為我們現實生活中遇到的問題都是多變量的，建立的模型中變量越多越能夠很好的模擬現實生活，多變量問題就可以轉化成偏微分方程求解的問題。數學發展至今，偏微分方程求解問題仍然是各個科學家們潛心研究的重要領域，一直在尋找新的問題突破口。其中，熱傳導模型問題是非常典型的偏微分方程問題，它的求解有很多方法，差分法是比較好理解和好操作的一種。除差分法外，還可以利用MATLAB 中的pdepe 函數、toolbox工具箱來求解或者是蒙特卡洛求法等。該文給出了一維熱傳導模型問題的求法，我們可以比較一下其他算法和差分法哪個更簡單實用，還可以擴充維數，去研究三維問題，探討一下三維熱傳導模型問題使用哪種方法等方便、更能簡化運算時間。