Crank-Nicolson/sinc方法求解帶弱奇異核的偏積分微分方程

羅曼 徐大 吳珍珍

摘? ?要： 帶弱奇異核的偏積分微分方程能夠表征記憶材料等新材料的機理和特性。采用Crank-Nicolson/sinc組合方法，利用Crank-Nicolson方法的高收斂精度，結合sinc配置方法的指數收斂，在時間方向采用Crank-Nicolson方法，在空間方向采用sinc配置方法，對帶弱奇異核的偏積分微分方程進行離散，得到全離散格式，進而推導出相應的矩陣形式。全離散格式在時間方向上能達到1.5階收斂，相比歐拉方法高0.5階;在空間方向上也能達到比線性收斂更快速的收斂速度。Crank-Nicolson/sinc組合方法可推廣到分數階偏微分方程等更加復雜的方程的求解，以推動記憶類新材料等研發技術探索。

關鍵詞： 弱奇異核;偏積分微分方程;sinc配置方法;Crank-Nicolson方法;全離散格式;指數收斂

中圖分類號：O241.82? ? 文獻標識碼：A? ? 文章編號：2095-8412 （2020） 05-081-05

工業技術創新 URL： http：//gyjs.cbpt.cnki.net? ? DOI： 10.14103/j.issn.2095-8412.2020.05.015

引言

隨著科學技術的發展，人類發現了具有記憶功能的材料。這種材料在高溫下表現出粘彈性或流變性，這些性質可由拋物與雙曲耦合的偏積分微分方程或方程組來表征。

帶弱奇異核的上述偏積分微分方程的求解更是一大難題。對這類偏積分微分方程進行研究，將為記憶材料的機理和特性研究提供更準確的數據依據，大幅推動新材料科學技術的發展。

專家學者對這類方程作了大量的研究，如陳傳淼等[1]在時間上采用向后歐拉格式，在空間上采用有限元方法，對這類方程進行了數值離散，并實現了空間方向上的4階超收斂;徐大[2]采用有限元方法，考察了這類方程在Crank-Nicolson格式、Euler格式下的帶權誤差估計;羅曼等[3]采用擬小波方法對方程進行了離散;Yan等[4]在空間上采用正交樣條配置方法，也實現了方程的4階收斂;Pani[5]采用H1-Galerkin混合有限元方法對方程進行了數值求解。

鑒于sinc配置方法（以下簡稱“sinc方法”）能實現指數收斂，本文探討如下形式的帶弱奇異核的偏積分微分方程：

首先介紹關于sinc方法的理論知識;然后聯合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法（本文稱之為“Crank-Nicolson/sinc方法”），對式（1）和式（2）進行離散;最后給出數值算例，驗證該離散格式的高精度收斂性。

1? sinc方法理論知識

sinc函數的表達式為

當該級數收斂時，一般采用有限項來逼近函數。

定義2? 令為內解析函數的集合，且滿足，其中，且在邊界上滿足。將定義為所有滿足以下條件的集合：存在一個常數，使得（其中對）且解析的函數的集合。

根據上述定理，可以推導出式（1）和式（2）在空間方向的離散格式。以下再給出離散格式中需要的關于sinc函數的導數在節點處的函數值的引理。

2? 離散格式構建與矩陣運算轉換

2.1? 離散格式構建

繼續考慮式（1）和式（2）。在時間上采用Crank-Nicolson格式，積分項采用拉格朗日兩點插值公式，則有

2.2? 矩陣計算轉換

通過式（11）的矩陣計算可以求得式（1）和式（2）的數值解。

3? 數值算例

本章通過數值算例來驗證離散方法的可行性。本章規定代表時間方向的網格剖分數;代表空間方向的網格剖分數;代表空間方向步長，;代表時間方向步長;有待求解。

若，則式（1）和式（2）有精確解相對應。表1給出了和時在時間節點處的和誤差，由此可知計算精度很高，且當越大時，誤差越小，收斂速度越快。圖1給出了當，，時的數值解和精確解的比較結果。由圖1可知，聯合采用Crank-Nicolson格式和sinc方法計算得到的數值解是非常接近精確解的。

4? 結論與展望

本文采用Crank-Nicolson/sinc聯合方法，研究了一類帶弱奇異項的偏積分微分方程。根據計算結果可知，數值解非常接近精確解，尤其當M=64，N=100時，L2誤差可以低至3.418 01e-06，從側面反映了sinc函數指數收斂的優越性。

總之，Crank-Nicolson方法和sinc方法相結合，不僅可以用于求解簡單的偏積分微分方程，也對帶弱奇異核的這類方程的求解有巨大的幫助。今后可以將這種方法推廣到分數階偏微分方程等更加復雜的方程中去，進一步推動新材料等科學技術的發展。

基金項目

湖南省教育廳科研項目支持（項目編號：17C0795，17C0797）

參考文獻

[1] Chen C， Thomée V， Wahlbin L B. Finite element approximation of a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel[J]. Mathematics of Computation， 1992， 58： 587-602.

[2] Xu D. On the discretization in time for a parabolic integro-differential equation with a weakly singular kernel I： smooth initial data[J]. Applied Mathematics & Computation， 1993， 58： 1-27.

[3] Luo M， Xu D， Li L. Crank-Nicolson Quasi-Wavelet Based Numerical Method for Volterra Integro-Differential Equations on Unbounded Spatial Domains[J]. East Asian Journal on Applied Mathematics， 2013， 4： 283-294.

[4] Yan Y， Fairweather G. Orthogonal Spline Collocation Methods for Some Partial Integrodifferential Equations[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 1992， 29（3）： 755-768.

[5] Pani A K， Fairweather G. An H1-Galerkin Mixed Finite Element Method for an Evolution Equation with a Positive-Type Memory Term[J]. Siam Journal on Numerical Analysis， 2003， 40（4）： 1475-1490.

作者簡介：

羅曼（1987—），通信作者，女，湖南益陽人，博士，講師。主要研究方向：偏微分方程數值解。

E-mail： lmlwlx@163. com

徐大（1960—），男，湖南株洲人，碩士，教授。主要研究方向：偏微分方程數值解。

吳珍珍（1981—），女，湖南婁底人，碩士，講師。主要研究方向：計算機應用。

（收稿日期：2020-07-28）