數學猜想及其在教學中的應用

◎鄒琳

根據中國日報網在10月31日發布的文章中提到最近全球有多名學者聲稱證明了黎曼假設，而黎曼假設是當今世界最著名、最重要的數學猜想。許多專家學者認為，如果這一猜想被證明成立，它將對數學乃至科學的發展有著極為重要的推動作用。可以說，猜想是當今社會科學經濟實力發展的強大動力之一。但是，伴隨著教育課程改革以及數學學科核心素養的引進，數學學科的課堂教學環節面臨著新一輪嚴峻的挑戰。同時，數學教學活動的目標指向性也更加的明確，更加重視數學探究活動和數學建模活動，促進學生創新意識和應用能力的發展。猜想作為一種數學發現的方法，有助于提高學生的創新能力。

隨著社會的不斷進步，教育的不斷改革，教學方法的不斷改進，教學方式也在不斷做出改變，而作為和創新相關的“猜想”不斷的出現在人們的視野。數學猜想更是被列入數學學習的主要方法之一，由此可見其重要性。數學猜想的方法不只體現在對于教學方法的改進，它對于學生的學習更有著促進和推動的作用。本文首先介紹了數學猜想的含義，把數學猜想的類型作了總結并給出相應的實例；最后，我們結合數學教學實踐，探討了數學猜想教學的深遠意義。

何謂數學猜想？它是指在現有數學理論和方法的指導下，以已知事實、數學知識和知識為基礎的預測推理。它是數學學科教學研究中一種特別常見的科學方法，也是數學學科發展的一種重要形式。作為一種手段，猜想的目的是通過推理來驗證猜想的正確性。猜想是一種合理的推斷，它補充了論證中使用的邏輯推理。對于沒有結論的數學問題，猜想的形式有助于問題解決思路的正確歸納；猜測也是我們思考解決問題策略的重要方式。

猜想是在某些思維方法的指導下進行的。數學猜想的一些基本方法是構成學生猜想能力的基本要素。在數學學科教學中，教師為了培養提高學生的數學猜想能力，有必要幫助學生掌握數學猜想的一些基本方法。這里有一些細節。

一、歸納性猜想

歸納猜想的含義是在特定事物的前提下推導出一般結論的過程。由于歸納推理通常與人們理解普通事物的方式一致，因此很容易被接受和理解。利用數學中的歸納猜想可以發現和解決一些一般性問題。這里我們所說的歸納法主要是指不完全歸納法。其思維方式主要是：調查問題，歸納問題，進行合理猜測。例如在數學“二項式定理的推導”時，就可以用歸納猜想分析：首先從較為常見的簡單情形著手研究：

它們都是（a+b）n（n ∈ N）的一種情形，那么下面的問題自然就是：它們的展開式具有什么樣共同的屬性呢？怎樣展開（a+b）14？那么一般形式（a+b）n又是如何展開的呢？我們現在經過分析得到（a+b）4展開結果的過程如下：

這個時候，我們可以引導學生列表觀察，從中尋找出規律性的東西，同時進行大膽猜測。由此不難歸納猜想出：對于（a+b）14展開后共有15項，它們分別是a14、a13b、a12b2、…、ab13、b14，它們的系數雖然不能一下子給出，但是我們根據上面的規律，一定可以求出。用同樣的方法似乎也可以解決（a+b）n的展開問題，盡管此時還沒有推出二項式定理，但顯然學生大膽的猜想已經獲得了許多重要的成果，這對掌握二項式定理的推導及其性質非常關鍵。

二、類比性猜想

類比是一種思維方式，它基于這樣一個事實：兩個物體之間存在著某些相同或相似的屬性，而且它們也可以具有其他相似的屬性。伊曼努爾·康德曾經說過”只要理性缺乏可靠的推理路線，類比就是解決之道。“這是我最可靠的老師，”開普勒說，他最強調類比。因此，在數學探索中，通過比較兩個命題的共同性質，猜出新命題的方法并不少見。例如，找到任意點P與長度為1的正六邊形之和。我們可以把這個問題和一個類似的正三角形問題聯系起來：從任意點P到正三角形兩邊的距離之和是一個固定值。我們可以用”面積法”來證明

從P點到每邊做垂直線PD、PE、PF，分別設為 h1、h2、h3，連接 PA、PB、PC，然后SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA。設 ΔABC 的邊長為a，面積為 S，則有 S=12ah1+12ah2+12ah3，故h1+h2+h3=2Sa（定值）。通過將這個問題與關聯命題相類比，我們得到一個猜想：正六邊形任意點P到每邊的距離之和是2Sa的固定值，其中S是正六邊形的面積，a是每邊的長度。我們可以通過與上述方法的類比來證明這一猜想，從而很容易地解決上述問題。

三、試驗性猜想

實驗猜測是用實驗的方法來研究，每個實驗可以給人們提供一種信息，然后得出相應的猜測。如，計算13+23+33+…+n3的和。我們可以嘗試代入具體數字，通過實驗來發現這個式子的規律：

從以上的測試結果，我們可以很容易地找到這些公式的共同點：方程的右邊是自然數的平方，所以我們可以得到如下初步猜測：立方和的第一個n個自然數是自然數的平方。為了得出更清晰的結論，我們將進行下一個測試，并進一步分析這些平 方 數 （ 即 1，3，6，10，15）：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，因此我們推測了一個更明確的命題：前n個自然數之和等于n個自然數之和的平方，即 13+23+33+n3=[n（n+1）/2]2。

四、探索性猜想

探索性猜想是指運用合理性探索的方法，在已有的知識經驗的基礎上，對此類問題進行研究，進而對結論的方向首先作出猜測。這一猜測可以不是“一步到位”的，往往需要根據不斷的修正來探討分析結論的正確性，以此來增強其合理性和可靠性。探索性猜想的思維方式一般是：合理猜測——不斷修改——再思考。一道例題如下：若△ABC的邊長分別為2，1.5，2.點p是三角形中的一個點。求點p到三角形的最大距離。下面我們來分析一下這道題的思路，設點P到三邊的距離為x，y，z，f（P）=xyz，考慮用平均值不等式求最大值。因此，我們可以猜測x+y+z是一個固定值。由已知很容易得到，△ABC是直角三角形，只要我們在斜邊所在的高上任取兩點，就可以驗證x+y+z為定值是不可能的。我們再進行進一步猜想：如果x，y，z的若干倍之和為一個定值，則這個問題可以解決。事實上，根據三角形面積關系S△PAC+S△PAB+S△PBC=S△ABC便 可 以 得 出3x+4y+5z=6， 于 是 f （P）=xyz=160（3x+4y+5z）≤1/60 （3x+4y+5z/3）3=1/60（6/3）3=2/15，∴ 當 3x=4y=5z=2 時 ，即x=2/3，y=1/2，z=2/5時，xyz有最大值為215。數學中的一些定點或定值問題可以通過先猜測不動點或定值，然后再驗證猜測值的正確性而較容易地解決。

關于數學猜想的教學意義，我從閱讀的一些文獻中總結如出，數學猜想可以說是數學學科發展的動力，也是科學發現的先導者，數學猜想促進了我國數學理論的發展以及對數學學科教學方法的研究。我們可以通過研究過去著名的費馬猜想、哥德巴赫猜想等一些數學猜想的發展史，這些著名猜想對于數學的研究和發展起到了很大的推波助瀾的作用。我們發現也正是這些偉大數學家的猜想，數學科學才能夠發展成為現代數學。猜想是解決一般數學問題的重要思維方式，是培養學生創造性思維的重要組成部分。同時，我認為知識不是主體對客觀現實的被動反映，而是主動建構的過程。學習者在構建知識系統和理解假設猜想、推理和驗證的過程中，我們便可以不斷地進行思考，處理和轉化各種數學信息。因此，我們可以認為假設是數學建構中學科思維的重要關鍵環節，它能夠促進對數學知識的同化，加速知識的產生和遷移，有著科學性、假設性、批判性、敏捷性等特點。但我國傳統的數學教學過分強調數學學科的科學性和嚴謹性，忽視了猜想等非邏輯思維能力的培養，嚴重阻礙了學生思維能力的培養，特別是可持續發展能力的培養。