考慮性能依賴的元動作單元多態可靠性分析

周 偉， 朱 曉， 冉 琰， 楊 欣， 柯 磊

(機械傳動國家重點實驗室(重慶大學)， 重慶 400044)

傳統的機械產品可靠性研究方法是從電子產品的可靠性研究中演變而來，例如可靠性框圖、故障樹分析(FTA)、故障模式影響及危害度分析(FMECA)等均首先在電子產品中得到應用。隨著科技的不斷發展，現代機械產品日趨復雜化、精密化、智能化，傳統的可靠性研究方法不再適用于機械部分的可靠性分析要求。從機械系統的工程實際出發，研究人員相繼提出了貝葉斯網絡、蒙特卡洛仿真、Petri網、通用發生函數等一系列考慮系統結構的復雜性，系統性能的動態性、多態性等特性的可靠性分析方法，多態系統可靠性的研究開始逐漸受到學者們的關注，并在原有的基礎上進行了進一步的拓展性研究。CASTET等[1-2]提出了基于數理統計的方法，建立了航天器多狀態系統的Petri網分析模型。潘剛等[3-4]考慮系統受到隨機沖擊造成的不確定性和部件認知的不確定性等情況，分別利用區間通用生成函數和模糊通用生成函數來評估多態系統的可靠性。曹穎賽等[5]針對系統中零部件的故障邏輯關系難以確定的問題，運用廣義灰色貝葉斯網絡模型進行多狀態系統的可靠性分析。以上文獻在分析系統多態性時，都假設了多態零部件或多態單元相互獨立。Levitin[6]在多態系統可靠性分析中，首次提到了元件性能分配過程中存在的依賴性特點。可靠性研究領域的國際著名學者Zio[7]指出系統狀態之間以及組成單元各個狀態之間存在的依賴性，是多狀態系統建模的困難所在。性能依賴性同失效共因[8]、載荷共享[9]等特性一樣，是單元性能相關性的一種外在表現。

本文針對現有多狀態系統可靠性分析的不足，提出了一種考慮單元性能依賴特性的可靠性分析方法。首先利用功能層次分解方法得到系統的研究對象——元動作單元，根據元動作單元的多態性，采用非齊次馬爾科夫模型建立單元的狀態轉移率矩陣，并將轉移率的大小與依賴特性相關聯，然后利用柯爾莫哥洛夫微分方程求得多態單元的穩態概率，用建立多態單元的向量通用發生函數來分析依賴特性對多態系統可靠性的影響，并通過實例證明該理論的有效性。

1 多態系統可靠性建模

1.1 元動作單元模型

對于結構復雜的機械系統，根據文獻[10-11]的研究方法,可以利用功能(Function)—運動(Motion)—動作(Action)的層次分解方法獲得機械系統最底層的研究對象——元動作，FMA分解使得系統的建模和分析過程得到簡化。

FMA分解過程可以總結為：首先研究系統要實現的功能，然后將功能分解為各個子系統(部件)的運動，最后將子系統的運動再分解成零件級的動作，即為元動作，如圖1所示。

圖1 基于FMA的層次分解模型

根據FMA分解方法，系統功能的實現可視為在多個動力源驅動下的一系列元動作完成的。而實現某個元動作的所有相關零件(動力輸入件、動力輸出件、中間件、支撐件、緊固件)按照裝配關系構成的整體稱為元動作單元[11]。元動作單元包括移動單元和轉動單元兩類，移動類單元實現最基本的移動功能，如油缸中活塞移動單元、齒條移動單元等；轉動類單元實現最基本的轉動功能，如齒輪轉動單元、絲杠轉動單元等。本文的研究對象就是以元動作單元展開的。

1.2 元動作單元的可靠性分析模型

可靠性的定義為產品在規定的時間內和規定的條件下，完成規定功能的能力[12]。當產品為機械系統時，根據FMA分解原理，其規定的功能可分解為系統零部件所要執行的動作，即元動作單元的可靠性可理解為元動作在規定的時間內和規定的條件下，完成規定動作的能力。

一個元動作單元其動作的完成能力可以通過動力輸出件的性能參數來反映，從元動作單元的種類來看，其中位移s、速度ν、力σ為移動類單元的參數，角位移θ、角速度ω、力矩τ為轉動類單元的參數。在一個維修周期內，外界環境的動態變化和系統功能的復雜性，會使元動作單元呈現多性能參數退化的多態性特征，從而整個系統也會表現出多態性。結合多位專家的知識和豐富的經驗，根據不同元動作的服役時間、結構特點以及在系統功能實現上的重要性賦予每個參數不同的權重，定義單元的性能函數f(.)，最終得到元動作單元的性能水平值，即

式中：c1,c2,c3表示移動類單元的輸出參數相對單元性能水平的權重，c4,c5,c6表示轉動類單元的輸出參數相對單元性能水平的權重，h(t)、q(t)分別表示移動單元和轉動單元在某個時刻的性能水平值。

假設元動作單元的性能閥值為w，在某時刻t,該單元的性能值為g(t)，根據可靠性的定義，其單元的可靠度為

R(t,w)=Pr(g(t)-w≥0).

系統的功能由n個元動作實現，n個組成單元與系統存在如下的性能映射關系

φ[φ(g11,...,g1K1),...,φ(gn1,...,gnKn)]→(B1,...,BK).

式中：φ(.)，φ(.)分別表示單元到子系統，子系統到整機系統的各層次間的物理特性的構型函數，Bi(t)表示系統在某時刻t的性能值，根據系統的性能需求閥值W,可得系統的可靠度為

RB(t,W)=Pr(Bi(t)-W≥0).

(1)

2 考慮性能依賴的單元狀態概率分析

2.1 基于馬爾科夫模型的狀態概率分析

Ai(t)=

已知單元的狀態轉移率矩陣后，在單元的初始狀態確定的情況下，依據Chapman-Kolmogorov公式可求得元動作單元處于不同狀態時的穩態概率。求解單元穩態概率的關鍵在于狀態轉移率矩陣，本文根據采集的元動作試驗數據,利用統計推斷的方法計算單元的初始狀態轉移率矩陣。

2.2 單元依賴特性分析

在系統分解到最底層的元動作層里，由同一個動力源驅動的元動作是上、下游動作的傳遞過程，上游單元的動作完成能力直接影響到與其相鄰的下游單元的動作完成能力。例如蝸輪蝸桿傳動，蝸桿轉動動作的精度(位移和角速度的綜合反映)、力矩等參數的大小直接決定了蝸輪動作的完成能力，即上游單元的性能狀態水平決定了下游單元的各個狀態性能分布，這種關系稱為下游單元對上游單元的依賴性關系。為便于依賴特性的分析，給出以下幾個定義：

自立單元i：指元動作單元i的狀態性能水平決定相鄰下游j的狀態性能分布；

依賴單元j：指元動作單元j的狀態的性能分布依賴于相鄰上游i的狀態性能水平；

依賴組：一個依賴單元j與所對應的自立單元i構成一個依賴組。

文獻[13-14]在分析系統或單元的狀態轉移率時，默認狀態轉移率矩陣的元素值在整個維修周期里是固定值或時間t的固定函數. 而文獻[15]提到，隨著系統工作時間不斷累積，系統的狀態轉移概率是變化的，且在系統處于不同的退化階段時，其狀態轉移率的變化特點也是不一致的。基于此，假定存在依賴特性的單元的狀態轉移率不再是僅與時間t有關的函數值，也更不會是固定值。由依賴特性的定義，當自立單元所處的性能狀態越低，對依賴單元造成的影響越大。引入狀態轉移系數ν, 且

(2)

Aj(t)=ν·Aj(0).

3 基于向量通用發生函數的多狀態系統可靠性分析

3.1 向量通用發生函數

本文利用通用發生函數在處理多態可靠性問題優勢的基礎上，提出向量通用發生函數，用以表達具有依賴特性的單元性能狀態和對應的狀態概率。

系統性能Q的分布用u函數表示為

uQ=u1(z)?u2(z)?…?un(z)=

(3)

(4)

根據元動作性能參數的特點，本文計算同一個動力源驅動下的元動作單元相互關系算子φ(.)取式(4)中φ3(.)，即

(5)

不同動力源驅動下的子系統之間的相互關系算子取式(4)中φ1(.)，即

(6)

3.2 考慮單元性能依賴的多狀態系統可靠性分析

在一個依賴組中，當自立單元i的性能子集共有K個，根據第2節的分析可知依賴單元j在整個生命周期的狀態概率矩陣pj表示為

pj=[pj1,pj2,…,pjh,…,pjc/k].

依賴單元j在第h個狀態所對應的狀態概率可用向量表示為

j的發生函數表示為

由i和j組成的依賴組的發生函數為

(7)

上述討論的依賴關系是兩個單元形成一個依賴組，是一般化的依賴情形. 在由多個元動作單元組成的上層運動子系統中，存在更加復雜的依賴關系。本文討論兩種常見情形并給出相應的子系統的發生函數表達式。

情形一：幾個單元的狀態性能概率分布同時依賴一個單元.

假設有元動作單元a、b、c組成一個運動子系統，b、c的性能狀態分布都依賴于a，則可以得到該子系統的發生函數

u1(a,b,c,z)=Ω1(ua(z),ub(z),uc(z))=

(8)

情形二：一個元動作單元是上游單元的依賴單元，同時又是下游單元的自立單元。

同樣假設單元a、b、c組成一個運動子系統，c的性能值分布依賴于b，b的性能值分布依賴于a，則此時子系統的發生函數表示為

u2(a,b,c,z)=Ω2(ua(z),ub(z),uc(z))=

根據以上討論，在求得具有依賴特性的依賴組的發生函數后，利用式(3)結合其他相互獨立的單元計算整機系統的發生函數，根據系統的性能要求閥值，再利用式(1)求得系統在考慮單元存在性能依賴特性時的可靠度。

4 算例分析

4.1 元動作單元多態性分析

以某企業精密加工中心的一個子系統——端齒盤分度轉臺為例，轉臺的分度功能通過轉臺的升降運動和回轉運動實現，升降運動通過活塞移動和端齒盤移動實現，回轉運動通過蝸輪蝸桿轉動、齒輪軸轉動和上齒盤移動實現。通過FMA分解得到動作層對應的元動作單元之后，用串聯表示在同一動力源驅動下的單元組，并聯表示不同動力源驅動下的單元組，元動作單元層的依賴關系簡化為如圖2所示。

圖2 元動作單元依賴關系

元動作單元的性能退化階段主要通過動力輸出件的執行精度來反映，系統實際運行過程中的動作精度通過多類傳感器的測量已知。根據實際測量的動作精度范圍進行多狀態的劃分，通常將狀態劃分為4種，劃分原則如表1所示。

表1 狀態類別劃分

通過監測元動作單元輸出件的動作參數得到實例中6個元動作單元的多狀態性能水平值，為簡化計算并體現出單元性能退化過程中的不同狀態，設定:

G1(t)=G3(t)={1,2,3.5,5}，

G2(t)=G4(t)={1,2,4,5}，

G5(t)={1.5,2,3.5,5}，

G6(t)={1.5,3.5,5}，

表2 元動作單元1,2的初始狀態概率

利用Chapman-Kolmogorov公式建立依賴單元2的多狀態概率微分方程為

(9)

表3 依賴單元2狀態轉移率

Tab.3 State transfer probability of dependent unit 2(10-5h-1)

自立單元1性能區間η4,3η4,2η4,1η3,1η3,2η2,1k=2431121k=1862242

圖3 依賴單元2的狀態概率圖

圖4 依賴單元2的狀態概率圖

通過圖3、4自立單元處于不同性能區間時的對比分析可知，在自立單元的性能狀態偏高時，其依賴單元的各狀態穩態概率曲線更平滑，即在同樣的時刻下，依賴單元處于高性能狀態的概率更大。在自立單元處于低性能狀態時，其依賴單元的失效概率也會增大。

4.2 子系統可靠性分析

為分析依賴特性對系統可靠性產生的影響，取端齒盤分度轉臺子系統的運行時間t=1年，計算各元動作單元的穩態概率。設定各個單元的初始狀態性能水平都是從最高性能狀態開始劣化的，根據2.1節所述方法，計算各個單元的多狀態穩態概率，6個元動作單元的穩態概率值如表4所示。

從表中所求的穩態概率可知，在自立單元處于“完全正常”和“輕度失效”時，依賴單元處于“完全正常”和“輕度失效”的概率會大些，反之，當自立單元處于“嚴重失效”和“完全失效”時，依賴單元處于“嚴重失效”和“完全失效”的概率也會大些，單元的依賴性通過穩態概率分布得到體現。

將上述的獨立單元和依賴組的單元狀態性能值通過通用發生函數及改進的發生函數表示如下：

根據式(3)、(5)～(8)可以計算各依賴組及獨立單元構成的子系統性能狀態發生函數：

最終可計算得到在考慮依賴特性后系統的發生函數為

當不考慮性能依賴時，即系統的各個組成單元相互獨立，具體體現在分析過程中只將依賴組中的兩個單元做獨立不相關處理，即依賴單元的狀態轉移率矩陣在初步確定后不再改變，其他條件一樣，據此計算系統的發生函數為

根據U1、U2和式(1)可以得到兩種情形下多態系統可靠度，如圖5所示。

圖5 兩種情況下的系統多態可靠度

從圖5可以看出，在系統的性能指標值W設定在3.5之前時，考慮了依賴性的系統可靠度比相互獨立時的可靠度要低. 這是因為在一個維修周期內，隨著系統的退化，組成系統的元動作單元由于存在依賴性，當處于低性能狀態的自立單元發生失效后會增大其依賴單元狀態轉移率，即性能水平會同時降低到更低的狀態;而獨立的元動作單元之間某一個單元失效并不影響其他單元，最終反映在系統上的結果即有依賴性的系統可靠性降低更多. 在性能指標值設定在3.5之后時，考慮了依賴性的系統其可靠度高于相互獨立時的可靠度，這是因為在高性能狀態，自立單元的高性能狀態決定其依賴單元的狀態轉移率較低，即一個依賴組能同時保持在較高的性能狀態。

5 結 論

1)利用功能—運動—動作的結構化分解方法，將復雜系統分解至底層元動作，并以元動作單元為研究對象，使得系統層到單元層的結構分析得到簡化。

2)利用非齊次馬爾科夫模型描述元動作單元的多態性，并通過設定狀態轉移系數構建了考慮性能依賴時的元動作單元狀態轉移矩陣，利用向量通用發生函數建立了對應多態系統的可靠性分析模型，通過對比分析得知依賴特性單元的狀態轉移率會隨著對應自立單元的性能退化而改變。

3)計算在考慮單元性能依賴下的系統性能水平發生函數，通過與單元相互獨立的系統對比分析得知:在單元處于高性能狀態時，單元的依賴特性會使系統的可靠性提高;而在低性能狀態時，單元的依賴特性會使系統的可靠性降低。