基于差分原理的重力壩深層抗滑穩(wěn)定可靠度研究

李向鵬，王 剛，李夢(mèng)瑤，秦凈凈

(大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

抗滑穩(wěn)定性是混凝土重力壩結(jié)構(gòu)安全評(píng)價(jià)的關(guān)鍵，可靠度方法是結(jié)構(gòu)安全評(píng)價(jià)的重要方法。可靠度理論已經(jīng)在水工結(jié)構(gòu)(如重力壩等)的安全評(píng)價(jià)中得到了廣泛應(yīng)用，并納入到相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范(標(biāo)準(zhǔn))中。當(dāng)前，可以通過(guò)計(jì)算重力壩的抗滑穩(wěn)定可靠指標(biāo)β判斷壩體及基巖是否滿(mǎn)足安全標(biāo)準(zhǔn)[1]。然而，實(shí)際工程中很多重力壩壩址工程地質(zhì)條件復(fù)雜，大壩基巖內(nèi)往往存在錯(cuò)綜復(fù)雜、相互切割交錯(cuò)的斷層、軟弱夾層、節(jié)理裂隙等，這些結(jié)構(gòu)面及其組合會(huì)形成壩基深層潛在的滑移通道，其中雙斜面的情況最為典型。另外，當(dāng)不同壩基滑移通道具有共同結(jié)構(gòu)面或滑移面間存在類(lèi)似的巖土統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，滑移通道間就會(huì)成幾何或物理力學(xué)參數(shù)的相關(guān)性，此相關(guān)性如何考慮需要結(jié)合具體工程進(jìn)行專(zhuān)門(mén)分析。總體上看，當(dāng)前研究中較多地關(guān)注壩基內(nèi)不同滑移通道各自的安全度或可靠度，未能對(duì)若干滑移通道組合時(shí)的情形進(jìn)行定量分析，從而對(duì)基巖整體失穩(wěn)狀態(tài)的評(píng)價(jià)存在一定不足。因此，有必要基于體系可靠度理論對(duì)重力壩基巖內(nèi)存在若干滑移通道組合的情況開(kāi)展整體抗滑穩(wěn)定可靠度分析。

可靠指標(biāo)β的計(jì)算通常采用蒙特卡洛數(shù)值模擬(MC)方法、驗(yàn)算點(diǎn)法、響應(yīng)面法等[2]。其中，MC法[3- 4]屬于隨機(jī)抽樣方法，為了保證計(jì)算精度，需要模擬大量的隨機(jī)樣本，計(jì)算效率非常低；響應(yīng)面法通過(guò)多次迭代運(yùn)算擬合功能函數(shù)，并多在功能函數(shù)為隱式時(shí)采用，當(dāng)功能函數(shù)的非線性較強(qiáng)、變量之間相關(guān)性較高時(shí)，計(jì)算誤差較大，且可靠指標(biāo)計(jì)算在驗(yàn)算點(diǎn)處產(chǎn)生振蕩[5]；驗(yàn)算點(diǎn)法，如中心點(diǎn)法、一次二階矩法(FOSM)等，屬于數(shù)學(xué)近似方法，精度低于MC法，且需要功能函數(shù)為顯式表達(dá)以便于計(jì)算中求解功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，一般而言效率較高。另外，體系可靠度理論在重力壩結(jié)構(gòu)安全分析中也得到了應(yīng)用，如寬窄界限法、主次結(jié)合法、史蒂文森-莫謝斯法等[4]，多是用于大壩滿(mǎn)足強(qiáng)度、穩(wěn)定等不同使用功能時(shí)的綜合分析，而直接針對(duì)本文問(wèn)題的研究并不多見(jiàn)。

為更好地解決重力壩深層抗滑穩(wěn)定計(jì)算中功能函數(shù)為隱式且非線性程度高的問(wèn)題，綜合考慮各種可靠度計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用性，本文提出將數(shù)值差分原理引入到SORM法中，通過(guò)差分方法求解功能函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而計(jì)算抗滑穩(wěn)定可靠指標(biāo)；在研究壩基深層多滑移通道穩(wěn)定體系可靠度時(shí)，先將不同滑移通道視為單一失效模式，再結(jié)合各滑移通道可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果采用寬窄界限法計(jì)算重力壩基巖整體抗滑穩(wěn)定體系可靠度。將此計(jì)算方法應(yīng)用到基巖地質(zhì)條件復(fù)雜、存在多條滑移通道的典型重力壩工程案例中，并采用MC法進(jìn)行精度和適用性驗(yàn)證。

1 基于差分原理的可靠度計(jì)算方法

1.1 功能函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的差分計(jì)算

由于二次二階矩法中求解關(guān)于各隨機(jī)變量X=(X1，X2，…，Xn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，需要功能函數(shù)Z=g(X)為顯式形式，而實(shí)際工程中可靠指標(biāo)β計(jì)算時(shí)常遇見(jiàn)Z為隱式函數(shù)的情況。數(shù)值差分法是求解隱式函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的有效方法。蘇永華[6]等詳細(xì)推導(dǎo)了二維空間內(nèi)利用差分理論求解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，基于差分原理可以得到驗(yàn)算點(diǎn)X0處的功能函數(shù)對(duì)各變量的一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)，如式(1)～(3)所示。

(1)

(2)

(3)

式中，λ為步長(zhǎng)；為了使偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算具有較高的精度，λ取值應(yīng)盡量小，文獻(xiàn)[7]建議在0.03～0.01之間取值。

1.2 基于差分原理可靠指標(biāo) β的計(jì)算

考慮變量間相關(guān)性時(shí)，求解β過(guò)程包括以下幾個(gè)步驟：

(5)按相關(guān)系數(shù)矩陣ρY產(chǎn)生下三角矩陣A，并按式(1)～(3)的形式計(jì)算功能函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)向量gY(y*)和二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣2gY(y*)；從而計(jì)算單位向量

(4)

(6)以αY′第n列向量由Gram-Schmid方法確定正交矩陣H′，并計(jì)算矩陣Q′，即

(5)

(7)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化可得二次二階矩法對(duì)應(yīng)的失效概率Pf及修正后的可靠指標(biāo)β如下

(6)

β=Φ-1(1-Pf)

(7)

式中，Φ為正態(tài)累積分布函數(shù)。

2 體系可靠度計(jì)算

2.1 失效模式間相關(guān)性

失效模式間的相關(guān)性往往對(duì)系統(tǒng)可靠度分析結(jié)果產(chǎn)生較大影響，所以在進(jìn)行結(jié)構(gòu)體系可靠度分析時(shí)，必須考慮這種相關(guān)性。基于上述方法，由式(4)在驗(yàn)算點(diǎn)收斂處，求得第i、j個(gè)失效模式中隨機(jī)變量xk的敏感性因子αik、αjk，兩者之間的相關(guān)系數(shù)為

(8)

由式(8)可知，兩個(gè)失效模式間的相關(guān)性系數(shù)與兩個(gè)功能函數(shù)中共同隨機(jī)變量的數(shù)目以及驗(yàn)算點(diǎn)處的敏感性系數(shù)大小有關(guān)，共同隨機(jī)變量敏感性系數(shù)越大，數(shù)目越多，相關(guān)系數(shù)就越大，兩個(gè)失效模式間相關(guān)性也越高。

2.2 寬窄界限法

寬窄界限法[9-10]是計(jì)算體系可靠度的常用方法，但界限法并不能直接計(jì)算可靠指標(biāo)，需要先由其他方法求得體系內(nèi)每個(gè)子系統(tǒng)的可靠指標(biāo)及它們之間的相關(guān)系數(shù)，然后明確每個(gè)子系統(tǒng)相互之間的串并聯(lián)關(guān)系，進(jìn)而使用界限法計(jì)算體系可靠指標(biāo)。

1967年，Comell在文獻(xiàn)中提出串聯(lián)系統(tǒng)失效概率Pf的寬界限為

(9)

式中，Pfi為第i個(gè)失效模式的失效概率。

1979年特里文森(Ditevsen O)對(duì)式(9)進(jìn)行了改進(jìn)，提出窄界限法計(jì)算公式即

(10)

式中，P(Ei∩Ej)為兩個(gè)失效模式同時(shí)失效的概率。

對(duì)于重力壩基深層抗滑穩(wěn)定問(wèn)題，巖基內(nèi)的每一條滑移通道(失效模式)視為一個(gè)子系統(tǒng)，整體壩基失穩(wěn)體系即由若干子系統(tǒng)根據(jù)失穩(wěn)性質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，同時(shí)，每個(gè)滑移通道又由若干單元(即滑移面)并聯(lián)構(gòu)成，這樣重力壩基巖整體穩(wěn)定體系可靠度模型是一個(gè)串并聯(lián)系統(tǒng)，可以先由本文介紹的基于差分原理的可靠度方法計(jì)算各滑移通道的可靠指標(biāo)，明確失效系統(tǒng)內(nèi)構(gòu)件間得邏輯關(guān)系后，再采用寬窄界限法計(jì)算整個(gè)基巖的抗滑穩(wěn)定體系可靠指標(biāo)。本文的單一滑移通道考慮最為典型的雙斜面情形。

3 工程實(shí)例

某重力壩上游水位92.0 m，下游水位22 m。計(jì)算選取的擋水壩段壩頂高程102.00 m，壩頂寬5.5 m。揚(yáng)壓力折減系數(shù)在為0.25，帷幕距壩踵7.5 m。上游壩面豎直，下游壩坡在94 m高程以下坡度為1∶0.75，在94 m高程以上豎直。主滑面傾角α=16.4，滑面傾角β=27.0。根據(jù)已知兩條滑移通道的資料，對(duì)該重力壩的基巖整體穩(wěn)定可靠度進(jìn)行分析。巖基整體穩(wěn)定計(jì)算剖面見(jiàn)圖1。

圖1 巖基整體穩(wěn)定計(jì)算剖面

3.1 單滑移通道可靠度計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[11]，可使用等安全系數(shù)法構(gòu)建多斜面情況下的可靠度計(jì)算極限狀態(tài)方程，此時(shí)極限狀態(tài)方程為復(fù)雜的非線性方程組，安全系數(shù)K是隱含在方程組中的未知數(shù)，常規(guī)驗(yàn)算點(diǎn)法難以解決該問(wèn)題，因此，采用本文提供方法計(jì)算，并采用MC法進(jìn)行驗(yàn)證，模擬抽樣次數(shù)為300萬(wàn)次。

巖基抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程為

(11)

式中，i、j為滑移面編號(hào)，其中，i=1、2，j=3、4。∑W為壩體的豎向作用總合；∑P為壩體的水平作用總和；f′1、f′2分別為滑動(dòng)塊ABD和BCD的摩擦系數(shù)；c′1、c′2分別為滑動(dòng)塊ABD和BCD的黏聚力；U1、U2、U3分別為滑裂面AB、BC和BD的揚(yáng)壓力；γ1、γ3分別為重力壩和水容重；G1、G2分別為滑裂面ABD和BCD的重力；Q為BD的抗力；Ψ為BD的抗力與揚(yáng)壓力U3的夾角。

可令K1=K2代入式(11)求得K，功能函數(shù)Z=K-1，顯然Z為非線性隱式函數(shù)。

該工程重力壩基巖4個(gè)滑裂面如圖1所示，4個(gè)滑移面可組合形成四組雙斜面滑移通道，編號(hào)分別為：Ⅰ(A1B-BC1)，Ⅱ(A2B-BC1)，Ⅲ(A1B-BC2)，Ⅳ(A2B-BC2)。可靠度計(jì)算時(shí)，隨機(jī)變量取結(jié)構(gòu)面的抗剪斷摩擦系數(shù)f′和粘聚力c′。結(jié)合實(shí)際工程地質(zhì)力學(xué)參數(shù)及以往研究中抗剪斷參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征[12]，4個(gè)滑移面的f′與c′的隨機(jī)分布特性見(jiàn)表1。

表1 基巖結(jié)構(gòu)面參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征

抗剪斷參數(shù)f′與c′一般呈負(fù)相關(guān)性，單滑移通道可靠指標(biāo)計(jì)算時(shí)考慮兩種情況：相關(guān)系數(shù)ρ=0(不相關(guān))和ρ=-0.3(相關(guān))。由于隨機(jī)參數(shù)分布類(lèi)型不同，故本文可靠度計(jì)算中采用Nataf變換對(duì)參數(shù)相關(guān)性進(jìn)行處理，最終計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 2種方法計(jì)算成果比較

圖2 算法收斂過(guò)程

從表2可以看出，參數(shù)相關(guān)性對(duì)可靠指標(biāo)β影響顯著，考慮參數(shù)相關(guān)性后，可靠指標(biāo)計(jì)算值較不相關(guān)情況要大。另外，對(duì)4個(gè)失效模式根據(jù)可靠指標(biāo)大小排序(見(jiàn)圖2)。由圖2可知，不考慮相關(guān)性時(shí)排序?yàn)棰?Ⅰ<Ⅲ<Ⅳ，而考慮相關(guān)性時(shí)排序?yàn)棰?Ⅲ<Ⅳ<Ⅰ，兩種情況存在一定差異。

本文方法計(jì)算結(jié)果與MC法相對(duì)誤差在2%～4%之間，MC法可靠指標(biāo)計(jì)算值均略高于本文方法，總體上計(jì)算精度相當(dāng)。可見(jiàn)，本文方法可以解決隱式非線性功能函數(shù)可靠度計(jì)算問(wèn)題，且由圖2可看出，在計(jì)算過(guò)程中迭代次數(shù)為9～31之間，計(jì)算效率相比MC法大為提高。

3.3 體系可靠度計(jì)算

根據(jù)式(8)計(jì)算滑移通道間相關(guān)性見(jiàn)表3。

表3 相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果

當(dāng)相關(guān)系數(shù)為0時(shí)，說(shuō)明兩滑移通道間無(wú)共同滑面，如I和Ⅳ、Ⅱ和Ⅲ等；相關(guān)系數(shù)為1時(shí)表示完全相關(guān)；當(dāng)兩相關(guān)滑移通道間的共同滑面為主動(dòng)滑面(靠近壩踵)時(shí)，相關(guān)系數(shù)均大于共同滑面為被動(dòng)滑面(靠近壩址)的情況。

本文方法得到的基巖整體抗滑穩(wěn)定可靠度計(jì)算結(jié)果如表4所示，表中一并列出MC法的計(jì)算結(jié)果，便于進(jìn)行對(duì)比分析。

表4 體系可靠度計(jì)算結(jié)果

從表4可以看出，窄界限法計(jì)算得到的可靠指標(biāo)β區(qū)間范圍較寬界限法窄，寬界限法區(qū)間范圍包含了MC法可靠指標(biāo)計(jì)算值，幾種方法均滿(mǎn)足工程精度需要。可見(jiàn)本文方法具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

本文將差分原理應(yīng)用到可靠度二次二階矩法中，并結(jié)合體系可靠度寬窄界限法對(duì)重力壩基巖整體抗滑穩(wěn)定可靠度進(jìn)行了研究，計(jì)算結(jié)論如下：

(1)本文方法在計(jì)算可靠指標(biāo)時(shí)，能兼顧精度和效率，并可較好地處理對(duì)于功能函數(shù)為隱式非線性的情況。

(2)結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行計(jì)算時(shí)，本文方法可以考慮隨機(jī)變量的不同分布類(lèi)型和變量間的相關(guān)性，計(jì)算結(jié)果符合一般規(guī)律。

(3)在實(shí)際工程中，重力壩基巖深層多滑移通道構(gòu)成的復(fù)雜滑移體系是較為常見(jiàn)的情形，本文方法可以更為全面地分析重力壩基巖多條滑移通道整體可靠度，從而為重力壩抗滑穩(wěn)定安全分析的進(jìn)一步研究提供有力的技術(shù)支持，也為重力壩壩基抗滑穩(wěn)定性研究提供新的思路。