論數學教學理論研究的依托與發展

李 鵬，蘇建偉

(1.惠州學院，數學與統計學院，廣東 惠州 516007；2. 海南師范大學 數學與統計學院，海南 ?？?，571158)

強調數學教育學科體系重要性的必然結果，就是要加強數學教育理論研究[1]。一般認為，數學教學理論研究、數學課程理論研究和數學學習理論研究是數學教育理論研究的三個重要組成部分，數學教學理論研究在其中居于重中之重地位。理由是，無論數學課程理論研究者還是數學課程編制者(抑或是二者兼而有之)，倘若沒有相當程度的數學教學經驗以及對數學教學的一定思考，他們創造的課程理論和課程文本可能脫離教學實踐。真正的課程理論和課程文本無疑都是受到先期形成的一定的教學思想指引的。而數學學習理論研究的成果“直接灌輸”給身心尚處成熟過程之中的學生時，將無法取得理論設想的效果，只能在數學教學實踐中借助教師加以落實才可能體現其固有價值。因此，在研究數學學習理論的同時需要進行教學理論的相關研究，如此，研究者的良好初衷才會更有效地達成。本文擬從數學教學理論與一般教學理論、與數學教學實踐關系以及自身如何發展三個方面對數學教學理論何以發展展開探討。

一、數學教學理論與一般教學理論

一般教學理論的許多研究成果和方法可以“照搬”到數學教學理論研究中，用以指導數學教學理論研究，但是數學教學理論與一般教學理論之間并非簡單的從屬關系，它有著自身的獨特性，主要體現在以下三個方面。

(一)一般教學理論的共性個別化

所謂共性個別化，指的是作為共性的一般教學理論在數學教學理論這個特殊領域中的獨特呈現，也即共性的一種獨特表達方式。這是一種一般與個別的關系：一般可以用來概括個別，個別在其自身層次上也可以反映一般，但是絕不能簡單地說個別等同于一般。否則，個別就喪失了繼續存在的必要性。

實踐當中的教學總要以某一具體科目知識為載體，只能是語文教學、數學教學或者別的什么科目的教學。但是在教學理論研究中，回避具體科目的實際教學問題，只是熱衷于大而空的理論口號，甚至將教學理論研究視作文字游戲，東拼西湊、閉門造車的情況是存在的。類似研究的結果，只能是產生波利亞所言的“沒有肉的白水湯[2]”。

教育學、心理學等關于教育的一般理論對相對處于下位層次的數學教育而言具有指導意義[3]，數學教學理論自然也要受一般教學理論指導，但指導不等同于直接替代，而應具體問題具體分析。比如，在數學教學理論研究中，對教學任務、教學過程、教學結構等方面的研究在借鑒一般的教學任務、教學過程、教學結構研究成果基礎上又應當有所不同，必須清晰體現出數學教學的個別化特征和數學教學內容的本質特征。否則，數學教學理論也就成為一種僅供點綴的可有可無之物，失去其本然價值。

(二)數學教學理論的內在規定性

一種事物或現象之所以存在的前提，在于其中有成其本身必需的某些成分。反過來說，離開了這些必需成分，這種事物或現象就不再成其本身，或者消亡或者轉化為其他事物或現象。這里所說的內在規定性，一切事物或現象概莫能外。數學教學理論也是如此。正如一個概念之所以是這個概念而不是那個概念，是由其內涵決定的，概念的內涵即是概念的內在規定性。因此，在數學教學理論研究中，就要努力尋找其內在規定性有哪些，將潛在的相對于一般教學理論的特殊規律顯化。

比如語文教學和數學教學都需要問題驅動方式，但語文教學的問題驅動更多的是為了引起學生的情感共鳴，是一種情意方式的提問。而數學是思維的科學[4]，數學教學最重要的是發展學生的思維。因此，數學教學的問題驅動主要應為學生提供依靠自身可以解決問題的方法和手段，體現出方法論的意義。“由遠及近，分級提問[5]”方式即是一種表現了數學教學內在規定性的方式。這里的“遠”與“近”是相對于面臨的數學題目而言的，代表著對學生暗示程度的逐漸增大。在分級提問過程中，學生不自覺地就提高了接受啟發暗示的能力并形成良好的思維習慣。在面臨新問題時，就可能自己給自己提出“由遠及近”的一串問題，指導自身的數學解題思維活動。諸如此類的數學教學的內在規定性，需要在數學教學理論研究和教學實踐分析中不斷發掘探索，為數學教學理論體系的建設奠定基礎。

(三) 數學教學理論的不變屬性

數學教學理論研究的另一個重要任務是尋找本研究領域特有的，也即存在于本領域而無關乎它領域的不變屬性。相對數學教學理論的內在規定性而言，這里的不變屬性主要指其“外延”。“外延”所包攝的內容是數學教學理論必須要研究的內容，普通教學理論和其他學科的教學理論一般并不專門涉及。

比如“把握數學抽象性的淡化”“擺脫數學嚴謹性的束縛”“突出策略創造精神”“加強數學語言訓練”等數學教學特殊原則的研究[6]。再比如，具有較大規模和影響力的MM(數學方法論)教育研究、針對數學“核心思想”教學的研究、對運用向量法處理立體幾何問題的教學研究等等。眾多數學教育研究者已進行了大量富有成效的工作，在《數學教育學報》《數學通報》等專業期刊上也時常可以見到相關研究論文。

需要改進的方面主要有：類似于MM教育研究的持續系統的研究偏少；部分針對具體數學方法教學的研究仍停留于發發感慨、談談體會的經驗性層次，缺乏必要的理論提升；對著名數學家、知名中小學數學教師的數學教學思想的搜集、總結與提煉的研究開展得較少等。這些都是數學教學理論“外延”中需要深入研究的重要問題。

二、數學教學理論與數學教學實踐

書齋式理論與經驗性教學相互隔離、缺乏融合是當前我國教育領域一個明顯現實問題。部分理論研究者不愿走入實踐去做“淺層”研究，認為這不是“真正”的學術研究；而一線教師囿于各方面壓力又不得不將主要精力集中在如何提高學生考試成績上。至于理論素養的提升只是作為事不關己的附加要求被擱置一邊。在和一些數學教師交流，請其談教學體會時，不少人就說得比較直接：“我不了解多少教學理論，也說不出什么教學理論，反正我覺得在課堂上學生聽得認真、聽懂了、學會了就夠了。”初聽起來似乎很有道理，可仔細分析卻有許多問題：“如何判斷學生懂了？如果學生懂了，他們懂得了多少？同一班級的不同學生懂得的程度是否有所差別？如何應對出現的差異？”這些問題僅憑想象是難以說清楚的。如果教師僅憑個人摸索積累的一些樸素教學經驗和對課程改革口號的表面化理解，有可能產生這樣的課堂：形式上精彩生動，實質上學生卻在片面理解甚至只是機械被動地理解所學。

沒有理論指導的教學實踐是盲目的實踐。如何令數學教學理論有效應用于實踐？在數學師范生培養和數學教師培訓當中，寓數學教學理論的學習于數學業務知識的學習中是一種好的做法，也即波利亞所說的“方法課應當在與業務課程或教學實習緊密結合的情況下開設[2]”。例如，類似《初等數學研究》的課程，不是簡單地要求數學師范生能夠解決其中的題目，更重要的是學習針對特定年齡階段的學生如何教“解題”。這就要求課程教授者有意識地將業務課和方法課相融合，而不是相互割裂開來、涇渭分明地進行教學。

為數學師范生和數學教師提供教學的元認知提示語是一種有益的具體手段。比如下面這些提問，“你能把這些教學理論用到你的課堂教學中嗎？”“這個教學理論在課堂教學的哪個環節使用最有效呢？”“你如何讓你的學生理解這道題目的求解并能將求解方法應用到類似的新問題中去呢？”“這些教學理論的哪一點現在對你最有幫助呢？為什么？”“在學習某個數學概念之后，你會選擇哪些題目來幫助學生深化對概念的理解呢？”“怎樣通過這些題目實現對學生思考問題方法的培養呢？”……數學教師通過應用這些指導自身教學的元認知提示語，可以有效地將學到的數學教學理論用于指導個人的教學實踐，并可能反過來進一步促進數學教學理論的發展。

數學教學理論是從數學教學實踐中歸納、總結、概括、升華而成的，也必須在數學教學實踐中檢驗和應用。數學教學理論研究不是從書本到書本、從問題到問題，其目的是為了將其推廣到廣闊的教學實踐中，進行應用、檢驗和修正，使其更加合理和完善。惟有如此，理論才能彰顯其價值和生命力，這也是數學教學理論的實踐品格所在。

三、數學教學理論研究何以發展

(一) 防止“去數學化”

數學教學理論研究屬于學科教學理論范疇，應當具備“數學”品格，針對具體的數學學科進行，切實“與數學對應[3]”。脫離數學空談教學理論不是真正的數學教學理論，難以用來解決數學教學實踐中的問題，對數學教學理論本身的發展無益。

以數學教學評價研究為例，研究者不應只是籠統地關注教學是不是促進了學生發展，課堂是不是蘊含了新課程元素，更要關注在數學方面，教學是怎樣促進學生發展的？對于要學習的數學知識，學生已經會了什么？還要發展哪些數學核心素養？數學核心素養的發展是否在課堂教學中得到了有效滲透？學生是否理解了相應數學知識的本質？要回答這些問題，就必須對數學知識的來龍去脈進行思考，尋找學生已有的數學知識、方法、態度與要掌握和形成的數學知識、方法、態度之間的差距并設計出跨越這個差距的數學教學策略。只有通曉并能夠正確運用基本數學原理的研究者才可能完成這個任務。如果研究者對數學缺乏足夠深入的理解，作出的理論描述從教學視角看也許是詳細正確的，但是由于遠離了數學，這些描述在應用于數學教學實踐時必然是無效甚至負效的。

(二) 防止“數學學科中心主義”

數學教學理論研究在防止“去數學化”的同時，也要善于借鑒一般教學理論乃至其他學科教學理論的豐富研究成果，取其適者為我所用，“‘教育學、心理學的理論加數學的例子’作為數學教育研究的一種方法，也未嘗不可[3]”。大膽從外來有益成分中“拿來”，為數學教學理論研究服務，既開辟了應用這些有益成分的新領域，又發展了數學教學理論，是一個雙贏的結果。“數學學科中心主義”對數學教學理論研究同樣有害，偏安于“數學學科”一隅進行數學教學理論研究，很可能異化為對數學或初等數學進行純粹知識性的研究，產生又一塊“啃不動的硬牛排”。

(三) 多群體的協同努力

數學教學理論研究的良性發展需要數學研究者、一般教學理論研究者、數學教學理論研究者和一線數學教師的協同努力。目前，由于教育事業發展需要和一線教師高漲的學習熱情，參加教育碩士課程學習的教師日益增多，許多數學教授開始成為教育碩士指導教師。數學教授作為研有專長者，數學研究經驗豐富，在指導數學學科教育碩士過程中，可以通過“還原”自己的研究經驗，提升教育碩士的數學素養和數學教學理論的“數學”品格，為中小學數學教師做出示范。中小學數學教師完全可能將這種示范效應落實到自身教學過程中，帶著中小學生實踐數學學習的“再創造”。

但是，多數數學教授的中小學數學教學經驗可能不及教育碩士們，并或多或少地存在輕視數學教學理論的思想，認為“我教了多年的大學數學，難道還不懂數學教育嗎”。正因為如此，出現錯位的“雙向差評”：具有豐富教學實踐經驗的教育碩士們，對教授們教學的評價，并不比教授對他們的評價高多少[7]。這就需要數學教授在發揮自身優勢的同時，有效融合教學理論的有益成分，認識到作為一門關于如何進行有效教學的科學，數學教學理論有其獨特價值，在指導教育碩士過程中為數學教學理論的豐富和發展做出應有的獨特貢獻。

一般教學理論研究者則需要更多地關注學科，對其中的宏觀問題和核心概念有一定認識，以使自己的研究成果能夠有的放矢，為具體學科的教學理論研究和教學實踐所用，而非僅停留于“曲高和寡”的一般理論層次。數學教學理論研究者作為特殊的研究群體，對一般教學理論的基本原理有著自身理解，對中小學數學教學實踐有著深入的觀察與思考，其中有些曾經從事中小學數學教學工作，在建立數學教學理論與數學、一般教學理論以及數學教學實踐之間橋梁方面有自身優勢。一線的數學教師在自覺學習適切的教學理論并在教學實踐中應用的同時，還要堅持進行教學反思并努力將經驗向理論層次提升，為數學教學理論體系不斷增添“實踐智慧”。

在多個群體發揮自身優勢、融合他人長處的協同努力下，促進數學教學理論的全方位發展。如，針對中小學數學課程中的核心主題，從數學、一般教學理論、數學教學理論和中小學實踐特征等多個視角進行設計、實施，從中抽象歸納數學教學理論的本質屬性，為數學教學理論大廈的建設添磚加瓦。