結構可靠度分析的概率密度演化理論

周通 彭勇波 李杰

摘要：為提高結構可靠度分析的精度和效率，發展了自適應代理模型與概率密度演化理論組合的一類高效可靠度求解方法。由于候選點集分布對于目標代理模型的導出速率具有關鍵作用，考察了GF偏差點集與常用MCS點集對代理模型構建的影響，確定了GF偏差點集作為優選點集。為驗證優選點集及自適應代理模型與概率密度演化理論組合可靠度分析方法的有效性，以徑向基函數為基礎，開展了解析函數的代理模型構建與隨機非線性結構抗震可靠度評估。結果表明：GF偏差候選點集增強了代理模型的構建效率，進一步提高了自適應代理模型與概率密度演化理論組合可靠度分析方法的精度和效率。

關鍵詞：結構可靠度;概率密度演化理論;自適應代理模型;GF偏差點集;MCS點集

中圖分類號：0213.2;0324文獻標志碼：A 文章編號：1004-4523（2020）05-1035-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.018

引言

工程結構在服役期內會遭受災害性隨機動力作用，如地震、強風和巨浪等。同時，結構系統自身的力學行為也具有明顯的隨機性。因此，開展結構在災害性動力作用下的可靠度分析工作對于評估結構性能、保障結構安全性至關重要。目前，求解結構可靠度的方法一般可分為四類：（1）近似數值法，如1階和2階可靠度分析方法（FORM，SORM）。該類方法基于功能函數在最可能失效點處進行1階或2階的Taylor展開。然而，該方法不適用于存在多個最可能失效點和功能函數具有較強非線性等情形。（2）隨機模擬方法，包括直接蒙特卡洛模擬法（MCS）及其改進方法，如子集模擬等。這類方法簡單易行，但計算效率相對低下。（3）代理模型方法，即利用代理模型來近似表征結構的功能函數，由此估計失效概率。常用的代理模型包括Kriging、徑向基函數（RBF）等，這類方法的精度取決于所采用的代理模型類型和抽樣策略。（4）直接積分法。該類方法通過導出功能函數的概率密度函數，從而直接積分求解失效概率。然而，概率密度解析解一般較難獲得，通常利用結構響應的前若干階統計矩來估計概率密度，如最大熵法等。

基于概率守恒原理，近年來發展了一類獲取概率分布精確解答的概率密度演化理論（ProbabilityDensity Evolution Method，PDEM）;并借助等價極值事件準則，實現了首次超越問題的精確求解。然而，基于PDEM的可靠度分析，其計算效率依賴于概率空問剖分代表點的數目（每一個代表點對應著一次確定性結構分析）。目前發展了一系列選點策略，主要包括：數論選點法、切球選點法、擬對稱選點法和基于廣義F偏差（Gener-alized F-discrepancy，GF偏差）最小準則的點集優選策略等。其中，基于GF偏差最小化準則所得到的樣本點集（簡稱為GF偏差點集）因在概率空問中的分布均勻程度進一步增強而應用最為廣泛。為有效降低PDEM的計算成本，通過構建代理模型直接估計結構確定性解答是較為直觀的方式。然而，構建代理模型的關鍵在于如何在保證滿足精度條件下采用盡可能少的樣本點來進行訓練學習。目前常用的采樣方法大致分為兩大類口引，即一次性采樣（One-stage Sampling，OS）和自適應采樣（Adap-tive Sampling，AS）。一次性采樣同時確定所有樣本點的數目和位置，之后不再新增樣本點，典型的一次性采樣包括拉丁超立方采樣等;自適應采樣首先基于少量的初始樣本點來構建初始代理模型，進而迭代增加新的樣本點，從而更新代理模型直至滿足目標精度。鑒于自適應采樣代理模型具有良好的適用性和可擴展性，本文作者將其用于改進PDEM的計算效率，提出了基于自適應代理模型與PDEM組合的可靠度分析方法。

在代理模型的自適應采樣更新過程中，候選點集分布對于目標模型的導出速率具有關鍵作用。鑒于此，本文考察GF偏差點集作為候選點集相對于常用MCS點集在代理模型構建過程中的有效性，在此基礎上，利用構建的代理模型預測GF代表點集的等價極值量，從而結合PDEM進行結構可靠度的高效分析。為評估GF偏差點集作為候選點集對于代理模型構建和可靠度分析的效率與精度的影響，基于某解析函數校核代理模型的構建，并針對某一多層框架隨機滯回結構開展抗震可靠度評估。

對于候選點集的選取，常規的自適應采樣方法均采用MCS生成候選樣本點，考慮到PDEM計算一般基于GF偏差最小化準則生成代表點集，本文將重點考察GF偏差點集相對于常用MCS點集在代理模型構建過程中的有效性。因此，分別選取GF偏差點集和MCS點集作為候選點集，且數目均設置為10⁵。

圖2分別給出了基本隨機變量不同概率分布下、自適應采樣過程中采樣點的分布狀況以及代理模型誤差量的變化過程：自適應采樣過程首先生成10個初始樣本點并計算相應的函數值，從而得到初始DoE;隨后在每一個迭代步中，針對候選點集內的每個樣本點計算J（θ），并基于J（θ）最大化準則從候選點依次識別出新樣本點θnew;將θnew添加入當前DoE中，進而改進當前的代理模型;最后，判斷當前迭代步中的PSE指標是否連續4次小于給定的閾值εthr來決定是否終止采樣，此處εthr設為0.1。