任意形狀固支板橫向振動的邊界保角映射解法

袁運博 李宏亮 劉洪達 郭宜斌 王東華 率志君

摘要：基于邊界保角映射法建立了任意形狀固支板橫向振動特性分析的半解析方法。在極坐標系下，以一般彈性薄板橫向振動的位移解析函數(shù)為基礎，引入邊界保角映射的概念，將任意形狀板中面的外邊界線映射為映射平面內(nèi)的單位圓周線，在映射平面內(nèi)推導了任意形狀板橫向振動轉(zhuǎn)角函數(shù)的統(tǒng)一表達式。根據(jù)固支邊界條件，在映射平面內(nèi)建立了用于確定任意形狀固支板橫向振動固有頻率和模態(tài)振型的特征方程。橢圓板、矩形板和馬蹄形板3個算例分析結果與現(xiàn)有公開發(fā)表結果及有限元結果的對比表明，所提方法能高精度地獲得任意形狀固支板橫向振動的固有頻率和模態(tài)振型。

關鍵詞：橫向振動;任意形狀板;邊界保角映射法;固支邊界

中圖分類號：0326;0327文獻標志碼：A 文章編號：i004-4523（2020）05-0921-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.007

引言

彈性板結構廣泛地應用于船舶與海洋工程、航空航天工程、車輛工程和建筑與橋梁工程等眾多工程領域。常見的彈性板結構除矩形和圓形外，還包含其他復雜形狀，如橢圓形和馬蹄形等。熟悉各種形狀彈性板的振動特性是合理且正確地利用這些板結構的前提條件。

彈性板的橫向振動問題自上世紀以來得到了廣泛的研究。chakraverty和Kumar分別回顧了近些年彈性板結構橫向振動方面的研究進展。雖然關于彈性板結構橫向振動的研究眾多，但主要集中于矩形板和圓形板等簡單形狀板，而針對任意形狀彈性板橫向振動的研究相對較少。

有限元法和邊界元法是分析任意形狀板橫向振動的一般化商業(yè)方法，有少數(shù)學者利用不同的數(shù)值方法研究了任意形狀彈性板橫向振動問題。Bucco等采用有限條法和撓度等值線法的結合獲得了圓環(huán)板的前兩階固有頻率和其他形狀板的基頻固有頻率。Geannakakes利用梁的特征多項式來表征板的位移函數(shù)，分別基于有限條法和瑞利一里茲法研究了任意形狀板的橫向振動特性。Kang等提出了一種利用無量綱動態(tài)影響函數(shù)法分析任意形狀板的橫向振動特性的離散化方法，該方法采用與邊界元法相似的離散化方法，但是不需要插值函數(shù)，因此通過少量的數(shù)值計算，即可得到近似解。然而，Kang等指出當選取的分析節(jié)點過多時，他們的方法可能存在系統(tǒng)矩陣病態(tài)的嚴重缺點。

雖然學者們提出了很多用于矩形板和圓板等簡單形狀板橫向振動特性研究的解析和半解析方法，如分離變量法、改進傅里葉級數(shù)法、積分變換方法和辛疊加方法等。但是對于其他形狀更為復雜的彈性薄板，由于無論在極坐標系、直角坐標系，還是橢圓坐標系下都難以根據(jù)邊界約束條件列寫統(tǒng)一的控制方程，因此，針對任意形狀板橫向振動特性的研究，主要為數(shù)值近似方法，如：有限條法、瑞利一里茲法和無量綱動態(tài)影響函數(shù)法。另外，部分學者利用保角映射法與能量法或伽遼金法相結合的方法，研究了不同形狀板的橫向振動特性。在這些文獻中，保角映射法僅被用于將復雜的形狀映射為簡單形狀，而固有頻率仍需利用其他方法求解得到，如：伽遼金法、瑞利法和瑞利-里茲法，因此其本質(zhì)仍是數(shù)值近似方法。

針對目前對于任意形狀板橫向振動的研究缺少解析和半解析方法的問題;以及在極坐標系、直角坐標系和橢圓坐標系下，難以根據(jù)邊界約束條件列寫任意形狀板橫向振動控制方程統(tǒng)一表達式的難題。本文借鑒經(jīng)典保角映射的概念，提出了一種基于邊界保角映射法的用于任意形狀固支板橫向振動特性分析的半解析化方法。所提方法直接以任意形狀板橫向振動在極坐標系下的位移解析函數(shù)為出發(fā)點，從而可保證本文方法具有較高的求解精度。

1理論模型

1.1控制方程和橫向位移

表2給出了貝塞爾函數(shù)展開截斷項N=16時固支矩形板的前25階無量綱固有頻率Ω。由表中數(shù)據(jù)可知，本文方法計算結果與文獻[4]的結果及有限元分析結果吻合良好。與表1相似，表2中的偏差均為本文方法結果與有限元（ANSYS）結果之問的偏差，對于本算例中的固支矩形板而言，前25階無量綱固有頻率Ω的最大偏差為-0.90%。

本文方法和有限元計算得到的固支矩形板前9階模態(tài)振型對比如圖6所示。由于本算例的矩形映射函數(shù)式（24）為具有一定截斷誤差的近似映射函數(shù)，導致由映射函數(shù)獲得的矩形的4個尖角處為小曲率半徑的弧線過渡，該現(xiàn)象可直觀地從圖6（a）中看出。在這種近似處理情況下，本文算法仍可高精度地獲得固支矩形板的固有頻率和振型，前25階固有頻率最大偏差為-0.90%;對比圖6（a）和（b）可可以發(fā)現(xiàn)，本文方法計算得到的前9階模態(tài)振型與有限元結果吻合良好。

理論上而言，為使由映射函數(shù)獲得的矩形的形狀與實際形狀吻合度更高，可以增加映射函數(shù)式（24）的項數(shù)。但是在實際計算中，在滿足一定精度的條件下，再增加映射函數(shù)的項數(shù)是沒有意義的，反而會增加計算時長。

2.3馬蹄形板

表3給出了貝塞爾函數(shù)展開截斷項N=14時固支馬蹄形板的前25階無量綱固有頻率Ω。由于尚無公開發(fā)表結果，本算例中，本文方法計算結果僅與有限元分析結果進行對比，對比分析可得兩種結果吻合良好。對于本算例中的固支馬蹄形板而言，前25階無量綱固有頻率Ω的最大偏差為-0.76%。

本文方法和有限元計算得到的固支矩形板前9階模態(tài)振型對比如圖8所示。與2.2節(jié)中矩形板算例相似，本算例中的馬蹄形板映射函數(shù)式（25）也是具有一定截斷誤差的近似映射函數(shù)。在這種近似處理情況下，本文算法仍可高精度地獲得固支馬蹄形板的固有頻率，前25階最大偏差為-0.76%。同時，對比圖8（a）和（b）發(fā)現(xiàn)，在近似映射函數(shù)式（25）條件下，本文方法計算獲得的前9階模態(tài)振型與有限元結果基本一致。

3結論

根據(jù)經(jīng)典保角映射的概念，提出了一種基于邊界保角映射法的用于任意形狀固支板橫向振動特性分析的半解析化方法，通過橢圓板、矩形板和馬蹄形板3個算例分析，驗證了本文方法的正確性和可靠性，并得到如下結論：

（1）難以在傳統(tǒng)直角坐標系、極坐標系和橢圓坐標系下給出統(tǒng)一數(shù)學函數(shù)表達式的任意形狀板的轉(zhuǎn)角，通過引入邊界保角映射，可在映射平面內(nèi)方便地給出。

（2）基于邊界保角映射建立的半解析化方法，可以精確地獲得固支橢圓板、固支矩形板和固支馬蹄形板橫向振動的固有頻率和模態(tài)振型。本文方法獲得的3種板的前25階固有頻率與有限元結果之問的最大偏差均小于1.00%，分別為-0.37%，-0.90%和-0.76%;本文方法獲得的這三種板的前9階振型與有限元得到的前9階振型均吻合良好。