函數的概念及其三種表示方法的研究

郝春然

函數的概念是從廣泛的實際問題中抽象出來的，在當今社會應用廣泛，在數學，計算機科學，金融，IT等領域發揮著舉足輕重的作用。函數這一概念從提出到如今滲透到數學的各個層面，都在數學學科中有著不可撼動的地位。有關函數的知識是初中數學的重要內容之一，高中進一步學習冪函數、對數函數和指數函數，以及解析幾何中直線、圓錐曲線等知識的基礎，函數知識又是解決實際問題的重要工具。

函數的知識如此重要，但是，很多學生感覺到學習函數很困難，在對我校120名同學的調查中，有20名同學對函數的感受是“太難了”，有68名同學對函數的感受是“有點難”，有32的學生對函數的感受是“挺容易的”。“太難了”占到的比例是16.7%，“有點難”占到56.7%。在感受到“太難了”或“有點難”的88名同學中，有36名同學認為是函數的概念很難，所占比例是40.9%.

因此，本文對函數的專題研究，主要圍繞函數的概念和三種表示方法來開展。

一、圖象法

關于函數圖象，初中數學課本八年級下冊（北京版）中給出了函數圖象的做法：把一個函數的一個自變量的值，和它所對的因變量的值分別作為一個點的橫縱坐標，就能在平面直角坐標系中描出相應的一個點，由所有這樣的點組成的圖形，就是這個函數的圖象。

回顧函數概念的發展史，探究函數概念的淵源，我們會驚奇的發現：學生遇到的困難具有歷史相似性。比如，在歷史進程中，從研究不變的量到研究變化的量經歷了重重阻礙，伽利略反對“不變才是高貴的、完全的科學”的說法，從而受到羅馬教皇的鎮壓，接受審判，被關進監獄，晚年凄慘。可見，當時要想讓人們接受：“把變化的量作為科學的研究對象”是多么艱難的一件事，這種艱難也同樣發生在了我們的學生身上。

在2011年至2015年，以及2017年的6年里，北京中考數學試卷的最后一道選擇題一度稱為經典的難題類型，都是勻速運動的點到一定點的距離隨時間或某一線段長度的變化而生成的圖象問題。

此類題目要求學生能夠研究變化的量，以及一個變化的量隨另外一個變化的量而連續變化的情況，“變化的量”成為學生認知的困難，缺乏函數觀念。

函數圖象，特別是連續變化的函數圖象最能反應函數自變量與因變量之間的“依賴關系”，這種成依賴關系的變量在我們的生活中隨處可見：我們乘車出門，那么汽車上的計時表、速度表、里程表都是時間的函數;醫院里，病人的脈搏、呼吸、體溫等隨病情的變化而變化，也是時間的函數，最能體現函數產生的社會需要。因此，不論是中考要求，還是社會需要，我們都要重視對學生函數觀念的培養。

二、列表法

列表法，即用列表法來表示函數關系的方法稱為列表法。圖象法最能體現函數與自變量的“依賴關系”，那么最能體現函數概念的“對應關系”的是哪種方法呢？

由于不是每個函數都能用表達式來表示，因此我做了圖象法與列表法的一個對比小測試。我在本校初中部三個年級測試了2018年北京中考數學的第16題：

在測試完這道題后，在沒有任何講解或學生交流的情況下，緊接著測試如下題目：

這兩道題其實是同一道題，只不過采用了兩種不同的函數表示方法，題目1是圖象法，只不過圖象是離散的一些點，題目2是列表法，用的字母符號更突出對應關系。

對比測試結果顯示：題目1的正確率低。初二和初三的學生正確率只有30%左右，初一學生由于沒有學習函數的概念，正確率只有5%左右;題目2的正確率有了顯著提高，初一和初二的學生正確率都超過了80%，初三學生的正確率接近90%。由此，得出結論：列表法比圖象法能讓學生更容易的發現函數的對應關系，那么最能體現函數概念的“對應關系”的是列表法。

表格法最能讓學生發現自變量和因變量之間的對應關系，“對應關系”恰恰是函數概念的最本質特征。因此，我認為在函數概念的教學中，教師應發揮表格法在體現“對應關系”上的優勢作用，重視列表法的教學。

三、解析法

初中數學課本八年級下冊（北京版）中：用含有自變量的代數式來表示因變量的式子叫做函數的表達式。這種表示函數關系的方法稱為解析法。

那么為什用“解析”這兩個字呢？其實，在幾年前，初中各個版本的教材曾一度用“解析式”一詞來表示含有自變量的代數式，而并非“表達式”。考察函數概念的發展演變史，不難發現，函數概念的萌芽伴隨著解析幾何的誕生，兩者曾一度糾纏，混為一談。

其實，解析幾何是先有的軌跡，也就是圖象，后建立坐標系，求出的軌跡方程的。某些軌跡方程經過恒等變形，坐標變換，就成為了初中數學內容的函數表達式。因此，初中階段對基礎函數的教學過程中，特別要注意的一個事實是：函數的表達式決定函數圖象。