基于學(xué)生發(fā)現(xiàn) 凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)
——“解決問(wèn)題的策略（‘一一列舉’）”教學(xué)實(shí)踐與思考

江蘇無(wú)錫市新吳區(qū)春星小學(xué) 朱麗芳

教學(xué)內(nèi)容：蘇教版五年級(jí)上冊(cè)第94 頁(yè)例1，練一練第1題，練習(xí)十七第2、第3題。

教學(xué)目標(biāo)：

1.使學(xué)生經(jīng)歷有條理地分析數(shù)量關(guān)系并有序地列舉問(wèn)題的所有可能結(jié)果、尋求符合問(wèn)題要求答案的過(guò)程，認(rèn)識(shí)解決問(wèn)題一一列舉的策略；能根據(jù)問(wèn)題條件依照一定的順序列舉符合要求的所有答案，用一一列舉策略解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.使學(xué)生在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程及反思、交流中，感受“一一列舉”的特點(diǎn)和價(jià)值，體驗(yàn)有序思考的思想方法，發(fā)展思維的條理性和嚴(yán)密性。

3.使學(xué)生主動(dòng)參與探究問(wèn)題解決途徑的活動(dòng)，進(jìn)一步積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的策略意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷用列舉的策略解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，感受列舉策略的特點(diǎn)和價(jià)值，增強(qiáng)分析問(wèn)題的條理性和嚴(yán)密性。

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)不同實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，通過(guò)合乎邏輯的有序思考，不重復(fù)、不遺漏地列舉符合要求的各種情況。

教學(xué)準(zhǔn)備：課件、學(xué)習(xí)單、方格紙。

教學(xué)過(guò)程：

一、情境導(dǎo)入，認(rèn)識(shí)策略

1．提出問(wèn)題，引發(fā)動(dòng)機(jī)

師：這位是在花圃工作的王大叔，他碰到了一個(gè)難題，需要我們的幫助，一起來(lái)讀一讀。從題目中你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是22米。

生2：長(zhǎng)加寬的和：22÷2=11（米）

生3：整米數(shù)。

師：分析完題意，你能一下子獲得答案嗎？那你打算怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？

生：可以把和是11的兩個(gè)數(shù)都列出來(lái)。

師：為什么非要把所有情況都列出來(lái)呢，列兩三種不能解決問(wèn)題嗎？

生：要找到面積最大，就必須把所有情況都列出來(lái)才能比較。

2．合作探究，優(yōu)化策略

出示要求：請(qǐng)同桌合作選擇喜歡的方法列舉出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，可以在方格紙上畫圖、也可以直接記錄在作業(yè)紙上，再把思考的過(guò)程和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：看他用畫圖找到了這三種長(zhǎng)方形，對(duì)不對(duì)，你還有其他想說(shuō)的嗎？

生：還少畫了兩種。

師：再來(lái)看這位同學(xué)都列全了嗎？你有沒有什么意見給他提一提？

生：列全了，但他寫得有點(diǎn)亂，沒有按照順序?qū)憽?/p>

師：再看看這張，請(qǐng)這位同學(xué)說(shuō)說(shuō)你是怎樣想的。

生：這一列表示的是長(zhǎng)，這一列表示的是寬，先確定長(zhǎng)，從最大的10 開始想起，因?yàn)殚L(zhǎng)最大是10。

師：他是先確定長(zhǎng)，再想寬。還可以怎么樣？

生：還可以先確定寬，再想長(zhǎng)，寬是從最小的1開始想。

師：如果先確定長(zhǎng)，就從最大的10開始想；如果先確定寬，就從最小的1 開始想。列舉的時(shí)候思路可以是多樣的，但一定要找準(zhǔn)起點(diǎn)按順序列舉。

師：為什么到寬5米，長(zhǎng)6米就好了，后面還有嗎？為什么？

生：沒有了，后面就重復(fù)了。

師：這樣有序的列舉有什么好處？

生：不重復(fù)、不遺漏。

師：老師這兒還收集了幾張，有文字描述的、有畫圖的、有列表的，他們都找全了嗎？還有什么共同特點(diǎn)？

生：都是有序列舉的。

師：雖然呈現(xiàn)的方式可以不同，但只要有起點(diǎn)按順序地把各種符合要求的情況一個(gè)一個(gè)列舉出來(lái)，就是一種非常好的解決問(wèn)題的策略，叫作一一列舉。

【思考】本環(huán)節(jié)以大問(wèn)題的形式展開探究，引領(lǐng)學(xué)生拾級(jí)而上。通過(guò)漏—亂—序的列舉呈現(xiàn)以及適時(shí)的追問(wèn)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)，因?yàn)闊o(wú)序，所以容易遺漏，因?yàn)橛行颍圆粫?huì)重復(fù)，也不會(huì)遺漏，而且還有便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體悟策略的意義，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的愉悅。在介紹學(xué)生的有序列舉時(shí)，首先把長(zhǎng)從大到小列舉和寬從小到大列舉兩種思考方式進(jìn)行比較，也體現(xiàn)了列舉思路的多樣性。其次三張有序列舉的學(xué)習(xí)單（列算式、文字描述、列算式）非常有特點(diǎn)地排除了無(wú)關(guān)特征，凸顯出有序的本質(zhì)屬性，歸納出一一列舉的根本要素：有序就能做到不重復(fù)、不遺漏。

3．列表列舉，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：如果將這位同學(xué)的寫法橫過(guò)來(lái)并列成表格，就可以這樣進(jìn)行一一列舉。我們就先確定寬，從幾開始，一起說(shuō)，寬是1，長(zhǎng)是10……檢查一下有沒有重復(fù)和遺漏。

師：長(zhǎng)是6，寬是5，面積最大。這下王大叔可以在花圃里種上更多的花草了！

師：觀察下表，比較它們的長(zhǎng)、寬和面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：周長(zhǎng)一定時(shí)，長(zhǎng)和寬越接近，面積越大。

4．回顧反思

師：同學(xué)們，請(qǐng)你回想一下，我們是怎樣解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的？誰(shuí)能完整地說(shuō)一說(shuō)。

生：先分析題意再算出長(zhǎng)加寬的和，用一一列舉的策略在表格中找出各種情況，檢查有沒有重復(fù)遺漏，最后比較寫答。

師：回顧解決問(wèn)題的過(guò)程，你有什么體會(huì)？和同桌說(shuō)一說(shuō)。

生1：用一一列舉的策略可以解決實(shí)際問(wèn)題。

生2：一一列舉之后還要進(jìn)行比較。

生3：有序地一一列舉就可以做到不重復(fù)、不遺漏。

【思考】本節(jié)課的例題，解決問(wèn)題的過(guò)程很長(zhǎng)、很復(fù)雜，這時(shí)教師要注意停一停，快思慢想，讓學(xué)生回過(guò)頭去看一看，這個(gè)問(wèn)題我們是怎么解決的，回想整個(gè)解題步驟，列舉在解決問(wèn)題的過(guò)程中有什么作用，這樣就不是為了列舉而列舉，而是在提煉出一般性方法步驟的基礎(chǔ)上從大問(wèn)題背景中凸顯列舉的價(jià)值，將解決問(wèn)題和策略相互融合、相互成就，對(duì)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、發(fā)展思維能力都有著長(zhǎng)遠(yuǎn)意義。

二、鞏固練習(xí)，豐富應(yīng)用

1．出示練一練第1題

師：為了更好地管理花圃，王大叔設(shè)置了鬧鐘，每隔一段時(shí)間就發(fā)出鈴聲，誰(shuí)來(lái)讀一讀？從題目中你知道了什么？你想怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？就是應(yīng)用了什么策略？完成學(xué)習(xí)單。

生：從11 時(shí)開始，用依次加40 分鐘的方法有序地找到了這些時(shí)刻。

師：還要繼續(xù)嗎？為什么？

生：不用了，問(wèn)題只問(wèn)到16時(shí)就沒有了。

師：有時(shí)只需要在有限的范圍內(nèi)進(jìn)行一一列舉。做完了嗎？還要進(jìn)行比較。王大叔的鬧鐘在哪些時(shí)刻會(huì)發(fā)出鈴聲，一起答一下。

2．練習(xí)十七第2題

師：新建的花圃需要購(gòu)買一些種子，王大叔準(zhǔn)備去這三個(gè)網(wǎng)站比較一下價(jià)格，他還發(fā)現(xiàn)每個(gè)網(wǎng)站會(huì)定期更新價(jià)格，誰(shuí)來(lái)讀一讀。從題目中你知道了什么？你想怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？

生：亞馬孫每?jī)商旄乱淮危〇|每三天更新一次，淘寶每四天更新一次。可以列表進(jìn)行一一列舉，更新的網(wǎng)站做上記號(hào)。

師：現(xiàn)在你知道哪些天沒有網(wǎng)站更新嗎？哪一天同時(shí)更新呢？一起答一下。

師：我們用了怎樣的策略解決這個(gè)問(wèn)題？這樣解題有什么好處？

生：我們用一一列舉的策略并用表格的方式解決了問(wèn)題，簡(jiǎn)潔、清楚、準(zhǔn)確。

3．練習(xí)十七第3題

師：王大叔為了感謝我們的幫忙，還特意寫了封感謝信，正貼郵票呢，你貼過(guò)郵票嗎？看老師這里就有幾封信（實(shí)物展示），信封上可以只貼一張郵票，也可以貼幾張郵票。

師：你知道什么是郵資嗎？一張郵票，那只有一種郵資，就是100分。那兩張郵票，有幾種不同的郵資？4 人小組討論一下。你想怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？你是怎么想的？

生1：從小到大一一列舉，80 分、100 分、180分。

生 2：先想 1 張的有兩種 80 分和 100 分，再想兩張的有一種80+100=180（分）。

師：看現(xiàn)在這里有4張郵票，再讓你選擇，你會(huì)選擇什么樣的方法？

生：第二種方法。

師：我們?cè)诮鉀Q更為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)可以先分類再一一列舉。請(qǐng)?jiān)诓莞灞旧习巡煌泥]資一一列舉出來(lái)。

學(xué)生匯報(bào)交流。

【思考】本環(huán)節(jié)在出示問(wèn)題并讓學(xué)生分析完題意之后，讓學(xué)生主動(dòng)思考和表達(dá)：你打算怎樣解決這個(gè)問(wèn)題？突出對(duì)一一列舉策略的需求，有時(shí)學(xué)生的答案也許并不像教師所期待的那樣完整、準(zhǔn)確，但肯定也會(huì)是一一列舉的策略。為了讓學(xué)生更易理解郵資的問(wèn)題，教師不僅當(dāng)時(shí)展示并說(shuō)明了郵資的含義，還通過(guò)分層練習(xí)，讓學(xué)生逐步感受先分類再一一列舉這個(gè)策略對(duì)解決這一類問(wèn)題的價(jià)值。在整個(gè)題目解決完之后還進(jìn)行追問(wèn)：我們用了怎樣的策略解決這個(gè)問(wèn)題？都是為了讓學(xué)生提升一一列舉策略的應(yīng)用性。

三、全課總結(jié)，拓展延伸

師：同學(xué)們，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？

生1：我學(xué)會(huì)了用一一列舉的策略解決實(shí)際問(wèn)題。

生2：不同的問(wèn)題要找到合適的方法有序列舉，確定好從哪里開始一一列舉。

師：今天學(xué)的這個(gè)策略在很早以前是個(gè)小朋友發(fā)現(xiàn)的，我們一起來(lái)聽一聽。

師：這個(gè)小朋友是誰(shuí)啊？為什么要這樣圍呢？

生：他是歐拉，當(dāng)周長(zhǎng)一定時(shí)，長(zhǎng)和寬越接近，接近到相等時(shí)，面積最大。

師：希望同學(xué)們也能學(xué)習(xí)他愛思考、愛探索的精神。出示課后思考題：王大叔要用12 塊邊長(zhǎng)1米的正方形草皮來(lái)鋪成大塊的草坪，怎樣鋪能讓圍籬笆的木條最少呢？

【思考】

1．素材，合乎情理的發(fā)現(xiàn)動(dòng)機(jī)

五年級(jí)學(xué)生已經(jīng)有了從條件出發(fā)分析和解決實(shí)際問(wèn)題、從問(wèn)題出發(fā)分析和解決實(shí)際問(wèn)題、從條件和問(wèn)題出發(fā)靈活確定解題思路、用畫圖的策略整理?xiàng)l件和問(wèn)題的基礎(chǔ)，對(duì)于有序列舉也有了一些零散的經(jīng)驗(yàn)，這節(jié)課就是要讓學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容有完整、深刻的認(rèn)識(shí)。本課創(chuàng)設(shè)了花圃王大叔的一系列生活情境，營(yíng)造自由、輕松、熟悉、利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的環(huán)境氛圍。教師結(jié)合學(xué)生實(shí)際水平，巧妙利用學(xué)生的生成資源，把教材劃分為一個(gè)個(gè)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程并制定出具體要求，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。五年級(jí)學(xué)生的抽象思維已得到一定發(fā)展，很少學(xué)生會(huì)選擇用擺小棒的方式進(jìn)行列舉，不僅費(fèi)時(shí)而且無(wú)法將各種情況都擺在桌面上進(jìn)行觀察比較，列舉的時(shí)候容易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏。但還是考慮到一部分學(xué)生的抽象性水平較低，所以安排了利用在方格紙上畫圖的方式進(jìn)行列舉，引導(dǎo)學(xué)生思維與操作相結(jié)合，利于這部分學(xué)生把抽象問(wèn)題形象化。在課堂上，我們拋出的問(wèn)題常常是那幾個(gè)發(fā)言比較積極的學(xué)生回答，我們就認(rèn)為這部分內(nèi)容學(xué)生理解了，而忽視了基礎(chǔ)較薄弱、理解能力較慢的那些學(xué)生，要想滲透到這部分學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主與合作相結(jié)合是一種較有效的學(xué)習(xí)方式，在交流中學(xué)生能相互感受不同的思維方式，獲得激勵(lì)和啟迪，這樣學(xué)生的理解會(huì)更有深度，才能真正建設(shè)以學(xué)為中心的浸潤(rùn)式的課堂。

2．立序，合乎邏輯的有序思考

要想學(xué)生有序，教師首先得做到有序，課堂節(jié)奏一定要清晰，要讓學(xué)生在解決每一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中都經(jīng)歷分析題目、策略解題、檢驗(yàn)寫答的完整過(guò)程，發(fā)展思維的條理性和嚴(yán)密性。分析題意是準(zhǔn)確解決實(shí)際問(wèn)題的前提，也是提高教學(xué)質(zhì)量的有效措施。整節(jié)課不管是在新授還是在練習(xí)時(shí)，都非常注重強(qiáng)化學(xué)生分析題意的意識(shí)，包括分析題目中所表達(dá)的信息及問(wèn)題。注重解決問(wèn)題的完整性，在一一列舉出各種情況以后都會(huì)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生接下來(lái)不要忘了比較和寫答，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。策略解題部分由于用一一列舉的策略解決實(shí)際問(wèn)題的題型有很多種，沒有統(tǒng)一的模型，那么就要讓學(xué)生在解題前先考慮清楚這兩點(diǎn)：第一，起點(diǎn)是什么，也就是從哪里開始一一列舉，這是有序列舉的前提。第二，在探究解決問(wèn)題的途徑時(shí)，能引導(dǎo)學(xué)生找到問(wèn)題的突破口，理清一一列舉的依據(jù)，如果是解決比較復(fù)雜的問(wèn)題，那可以先分類再一一列舉。學(xué)生掌握這兩點(diǎn)才能真正理解什么是有序，真正做到有序列舉。