實數系的密度函數

王淑斌

摘 要 概率指事件隨機發生的幾率，對于均勻分布函數，概率密度等于一段區間（事件的取值范圍）的概率除以該區間的長度，它的值是非負的，本文從高斯分布的角度論述了實數系的性質。

關鍵詞 正態分布 實數連續性

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

正態分布也稱“常態分布”，又名高斯分布，最早由棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到，高斯在研究測量誤差時，從另一個角度導出了它。

定義1：如果隨機變量X的概率密度為，，其中? >0，則稱X服從參數為，的正態分布。記為。

定義2：設連續型隨機變量x的密度函數為則分布函數為。

若x ～ N（0，1）其密度函數和分布函數常用和表示，

其中，。

對于標準正態分布的分布函數具有如下性質

（1），（2），（3），

（4）

實數連續性定理由，確界存在性定理，單調有界收斂定理，聚點定理，閉區間套定理，有限覆蓋定理，波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理，柯西準則七個定理組成，皆刻畫了實數集R的連續性。

（一） 若集合A，，。

區間長度的最大值記：;區間長度的最小值記：0

自變量在區間內的大小，構成了自變量的可變動區間，即：

若，則

（二）若集合B，，。

區間長度的最小值記：;區間長度的最大值記：0

自變量在區間內的大小，構成了自變量的可變動區間，即：

若，則

上述（一）（二）可總結為：

自變量（b-a或a-b）在區間內的大小，構成了自變量的可變動區間，如果隨機自變量（a-b或b-a）的概率密度，，那么它的分布函數可表示如下形式

證明;（1）從分布函數看的對稱軸是，因，。所以

時

當時

（2）從密度函數看，。因密度函數要求非負性，此時的負號說明分布函數在定義域內是單調遞減的。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復變函數論（第四版）[M].高等教育出版社，2013.

[2] 歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.數學分析（第三版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計（浙江大學第四版）[M].高等教育出版社，2010.