實數(shù)系的密度函數(shù)

王淑斌

摘 要 概率指事件隨機發(fā)生的幾率，對于均勻分布函數(shù)，概率密度等于一段區(qū)間（事件的取值范圍）的概率除以該區(qū)間的長度，它的值是非負的，本文從高斯分布的角度論述了實數(shù)系的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞 正態(tài)分布 實數(shù)連續(xù)性

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

正態(tài)分布也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布，最早由棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到，高斯在研究測量誤差時，從另一個角度導(dǎo)出了它。

定義1：如果隨機變量X的概率密度為，，其中? >0，則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布。記為。

定義2：設(shè)連續(xù)型隨機變量x的密度函數(shù)為則分布函數(shù)為。

若x ～ N（0，1）其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示，

其中，。

對于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)具有如下性質(zhì)

（1），（2），（3），

（4）

實數(shù)連續(xù)性定理由，確界存在性定理，單調(diào)有界收斂定理，聚點定理，閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理，柯西準則七個定理組成，皆刻畫了實數(shù)集R的連續(xù)性。

（一） 若集合A，，。

區(qū)間長度的最大值記：;區(qū)間長度的最小值記：0

自變量在區(qū)間內(nèi)的大小，構(gòu)成了自變量的可變動區(qū)間，即：

若，則

（二）若集合B，，。

區(qū)間長度的最小值記：;區(qū)間長度的最大值記：0

自變量在區(qū)間內(nèi)的大小，構(gòu)成了自變量的可變動區(qū)間，即：

若，則

上述（一）（二）可總結(jié)為：

自變量（b-a或a-b）在區(qū)間內(nèi)的大小，構(gòu)成了自變量的可變動區(qū)間，如果隨機自變量（a-b或b-a）的概率密度，，那么它的分布函數(shù)可表示如下形式

證明;（1）從分布函數(shù)看的對稱軸是，因，。所以

時

當時

（2）從密度函數(shù)看，。因密度函數(shù)要求非負性，此時的負號說明分布函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的。

參考文獻

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第四版）[M].高等教育出版社，2013.

[2] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].高等教育出版社，2007.

[3] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（浙江大學(xué)第四版）[M].高等教育出版社，2010.