一題多探 能力凸顯
———一類橢圓問題多種探究視角

◇ 北京 薛久武

對一道題目從多角度進行探究,是培養學生能力的重要方式.對于不同的題目探究的視角不盡相同,以圓錐曲線問題為例,可從問題的本質、求解方法,蘊含的結論、問題的變式等視角進行探究,從而使學生分析問題與解決問題的能力顯著提升.圓錐曲線是高中數學的主要模塊,以其為背景命制的問題題型多變、解法靈活、結論豐富,是學生解題探究的良好載體.下面以一道橢圓解答題為例,分析其探究視角.

引例已知橢圓的離心率為過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長度為2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點A(1,0),B(4,0),過點A的任意一條直線l與橢圓C交于M,N兩點,求證:|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|.

1 題目本質探究

本題以直線和橢圓的位置關系為背景,第(1)問考查了利用橢圓的幾何性質求曲線方程,屬于基礎設問,易求得橢圓C的方程為本文重點探究第(2)問.

第(2)問證明|MB|·|NA|＝|MA|·|NB|,對其變形得等式中的四條線段位于△BMN中(如圖1),由三角形角平分線性質定理的逆定理可知∠MBA＝∠NBA,這一性質也可利用解三角形知識證明.在△MAB中,由正弦定理得

圖1

同 理,在 △NBA中,有 sin∠NAB＝由 ∠MAB＋ ∠NAB＝ π,sin∠MAB＝sin∠NAB,可得

所以sin∠MBA＝sin∠NBA,即∠MBA＝∠NBA.

審視清楚這一原理,解法自然生成.數學問題的求解中,對問題本質的探究是順利解題的關鍵,明確了問題的本質,也就弄清了解題的思路,由點成線、由線成面,形成求解一類問題的通法,進而拓展出多種解法.

2 問題解法

思路1由∠MBA＝∠NBA,知kMB＋kNB＝0.

解法1設直線MN:x＝my＋1,與橢圓方程聯立,消元得(m2＋2)y2＋2my－3＝0.

設M(x1,y1),N(x2,y2),由于Δ＞0,所以

將式①代入上式的分子中,得

點評

本解法是求解此類問題的通法,即通過坐標法、代入消元法、判別式及根與系數的關系等將幾何問題代數化,將所求問題轉化為兩條直線的斜率關系來處理.

思路2由∠MBA＝∠NBA,可知直線MB與NB關于x軸對稱,則點M關于x軸的對稱點在直線NB上,進而利用三點共線原理求解.

解法2設M(x1,y1),N(x2,y2),則M關于x軸的對稱點M′(x1,－y1).

設直線MN:x＝my＋1,同解法1得

將式②代入得

點評

向量既具有代數特征,又具有幾何特征,平面向量的性質、運算在解析幾何問題的求解中有著廣泛的應用.本解法結合橢圓的對稱性,將所證問題轉化為三點共線問題,進一步結合向量共線原理來處理.

思路3本題條件中直線MN過定點,判斷直線BN,BM的斜率關系,可利用齊次式法進行處理.

解法3設直線MN:x＝my＋1,M(x1,y1),N(x2,y2),則.

設x′＝x－4,則x＝x′＋4,將其分別代入直線的方程與橢圓方程,可得直線,橢圓,即

點評

給出斜率關系判斷直線過定點,或給出直線過定點判斷斜率關系問題,均可采用構造“齊次式”的方法.構造過程中要注意等價變形.

3 蘊含結論

圓錐曲線因具有特殊的對稱性,其中往往隱含著特殊的結論.通過對引例的一般情況進行探究,不難得出如下結論.

結論已知F為橢圓的右(或左)焦點,過點F的直線與橢圓交于M,N兩點,點B為直線與x軸的交點,則直線BM,BN關于x軸對稱.

下面用引例中的解法1給出證明.

證明設直線MN:x＝my＋c,與橢圓方程聯立,消元得

設M(x1,y1),N(x2,y2),由于Δ＞0,所以

將式③代入上式的分子中,得

類似的結論還可以推廣到雙曲線或拋物線中,留給讀者來探究.通過對某一類問題中所蘊含的結論進行探究,會使我們對問題的本質認識更為透徹.

4 變式拓展

在解答完一道題目后,可通過改變問題的條件或結論、以及問題的背景等進行變式,以鍛煉學生靈活應用不同方法解答問題的能力.

變式1已知橢圓與坐標軸不平行的直線與橢圓C交于M,N兩點,點B(4,0),使得直線BM,BN關于x軸對稱,證明直線MN過定點,并求出定點坐標.

本題利用引例中的三種解法均可獲解,下面給出齊次式法的解答過程.

解析

設直線MN:x＝my＋n.設M(x1,y1),N(x2,y2),則.

設x′＝x－4,則x＝x′＋4,將其分別代入直線的方程與橢圓方程,可得直線,橢圓,即

整理得

將方程兩邊同時除以x′2得

變式2已知橢圓,點A(1,0),過點A且不與x軸重合的一條直線與橢圓C交于M,N兩點,則在x軸上是否存在點B,使得直線BM,BN關于x軸對稱?若存在,求出點B的坐標,若不存在,請說明理由.

解法同上,略.

上述兩個變式將例題中的結論與條件互換,利用例題中所述的幾種方法均可求解.當然切入的視角不同,得到的變式也不相同,但只要我們清楚問題的本質及相應的結論,即可以不變應萬變.

綜上所述,圓錐曲線問題是考查考生數學運算、直觀想象、數據分析等核心素養的重要載體,對一道題目從不同的視角進行探究,不僅是提升學生能力的重要方式,也是提升數學核心素養的重要方式.因此同學們在學習中要有意識、有針對性地進行探究,從而扎實掌握所學知識,提升自身解題能力.