蝴蝶定理的引申與推廣
———對202年高考數學北京卷第20題的探討

◇ 北京 馬超周 鄭拴平

2020年是北京高考數學文理不分科的第一年,試卷在題量分布、分數設置等方面均有變化,但整體而言呈現了穩中有進、適度創新的特點,試題著重考查了數學方法與數學本質,凸顯了數學素養.

試卷中第20題考查了解析幾何中的主要方法,需要利用代數方法對幾何對象進行研究,在考試過程中需要學生能夠積極地思考和分析問題,要具備一定的數學運算核心素養.如果深入分析本題的幾何背景則會對這一問題的思考有不同理解,能更好地探究解析幾何問題的本質,因此本文主要針對該題的幾何背景進行分析.

1 題目再現

題目已知橢圓過點A(－2,－1),且a＝2b.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點B(－4,0)的直線l交橢圓C于點M,N,直線MA,NA分別交直線x＝－4于點P,Q.求的值.

2 試題背景與解題思路分析

蝴蝶定理是古典歐氏平面幾何中一個精彩的命題,一直以來都是數學愛好者的研究熱點,至今蝴蝶定理有多種形式的推廣和變形,在考試中也涉及各種變形,而2020年北京高考數學試卷中20題的第(2)問,實際上就是蝴蝶定理在橢圓中的推廣與引申.

蝴蝶定理如圖1所示,已知M是圓O的弦AB的中點,CD,GH是過點M的兩條弦,連接CH,DG分別交AB于P,Q兩點,則有|MP|＝|MQ|.

蝴蝶定理有解析法、面積法、對稱法等多種證明方法,而實際上圓內的蝴蝶定理是一種特殊情況,該定理有多種推廣,比如點M不一定是圓內弦的交點,可以移動至圓外,圓也可以改為任意圓錐曲線等,這些定理的推廣正是本題的起源.本文首先給出點M在圓外的蝴蝶定理形式以及一般圓錐曲線中蝴蝶定理的兩種形式,并由它們分析試題的變形以及求解思路.

圖1

定理1如圖2所示,在圓錐曲線中,過弦AB中點M任作兩條弦CD和EF,直線CE與DF交直線AB于P,Q,則有

圖2

定理1是蝴蝶定理在圓錐曲線中的推廣,關于該定理的證明不在本文中進行具體闡述,2003年高考北京卷數學18題的第(3)問就是以定理1為背景進行的試題編擬,試題是將定理1中的圓錐曲線取為橢圓,同時AB為平行于橢圓長軸的弦的特殊情況(如圖3),讀者可自行探究.

圖3

但是2020年的題目與定理1的條件有所區別,一方面,本題中點M是圓錐曲線外一點;另一方面,在題干信息中并沒有直接看到經過點M的兩條弦,其實這是蝴蝶定理在圓錐曲線中的進一步推廣.

定理2在圓錐曲線中,過弦AB端點的切線交于點M,過M的直線l∥AB,過M任作兩條弦CD和EF,直線CE與DF交直線l于點P,Q,則有|MP|＝|MQ|.

證明如圖4所示,以M為原點,直線l為y軸建立平面直角坐標系.設圓錐曲線方程為

圖4

設A(x1,y1),B(x1,y2),則切線MA的方程是

因切線MA經過點M(0,0),故可得F＝0.同理,根據經過點M的切線MB的方程可以得到.由此可得E(y1－y2)＝0,所以E＝0.

由已知條件可知直線CD和EF的斜率都存在,設直線CD方程為y＝k1x,直線EF方程為y＝k2x,同時設C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5),F(x6,y6),P(0,p),Q(0,q),則直線CE方程為

聯立y＝k1x與Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,可得

又因為E＝0,所以

同理可得

2020年的題目就是將定理2中的圓錐曲線取為橢圓,同時弦AB為垂直于橢圓長軸的一種特殊情況,當弦AB垂直于橢圓長軸時,點M也在長軸上.

一方面,雖然題干信息中沒有出現定理2中的弦AB,但是直線x＝－4是一條垂直于長軸的直線,而且點B(－4,0)恰好為該直線與橢圓長軸的交點,根據橢圓的對稱性,經過點B作橢圓兩條切線,則切點弦一定垂直于橢圓長軸,符合定理2的條件.

另一方面,2020年的題目中經過點B只作了一條直線MN與橢圓相交,而經過計算可以發現直線BA是橢圓的一條切線,因此本題是在對定理2的條件特殊化的基礎上再一次特殊化(如圖5),即經過點M作的兩直線中一條與橢圓相交,一條是橢圓的切線(即點C和D重合,或者點E和F重合的特殊情況).根據定理2的證明過程可以看到,如果經過點M的直線是圓錐曲線的切線,結論仍然成立.

至此,從蝴蝶定理的推廣形式中分析出2020年高考北京卷數學第20題第(2)問的幾何背景信息,使我們對本題的幾何圖形構圖有更加深入的理解.

高中階段,解析幾何研究的是如何用代數方法探究幾何問題,對于本題的處理一般我們會選擇將直線l的方程與橢圓方程聯立,但是計算較為煩瑣,而簡化本題計算過程的關鍵其實是如何用代數方法表示在深入分析了本題的幾何構圖后,結合定理的證明過程,也為本題求解提供了思考方向,即計算P,Q兩點縱坐標之和會為代數運算帶來簡便之處.

上述分析是從蝴蝶定理在圓錐曲線的推廣中對本題幾何背景進行研究,下面我們從另一個視角進行分析,即從蝴蝶定理在圓中的推廣形式分析本題幾何背景信息,并進行題目的變式拓展.

圖5

定理3如圖6所示,直線l是圓O外的一條定直線,過圓心O作OM⊥l于點M,過M任意作兩條直線分別交圓O于點C,D,E,F,連接DE,FC并延長交直線l于點P,Q,則

圖6

定理3是蝴蝶定理中點M在圓外的推廣情況,從這個推廣情況中我們可以再進一步進行特殊化,即過點M分別作圓O的一條交線和切線(即點E和F重合時的特殊情況),則結論仍然成立.

定理3′如圖7所示,直線l是圓O外的一條定直線,過圓心O作OM⊥l于點M,過M任意作一條直線與圓O交于點C和D,作圓O的一條切線與圓O交于點E,連接CE,ED并延長分別交直線l于點P,Q,則有|MP|＝|MQ|.

證明作點C關于直線OM的對稱點C′,連接CC′,EC′,MC′,QC′,則有CC′∥PQ.由已知可得

圖7

所以∠DEC′＝∠C′MQ,則有E,M,Q,C′四點共圓,由此得∠MEQ＝∠MC′Q.又因為∠MEQ是弦切角,所以∠MEQ＝∠MCE,所以∠MCE＝∠MC′Q.

所以△PMC≌△QMC′,證得MP＝MQ.

從蝴蝶定理推廣形式的定理3′中可以發現,2020年北京高考數學的第20題相當于是定理3′由圓向橢圓的再次推廣.同時結合高等數學的知識可以知道,在射影空間RP2或CP2中,橢圓、雙曲線和拋物線都可以通過射影變換轉化為圓,所以定理3′的結論在圓錐曲線中也是成立的.雖然幾何證法不是高中階段解析幾何的主要研究方法,但是結合幾何方法的證明過程以及對定理條件的分析之后,可以將本題的本質條件進行提煉并進行變式.

2020年的第20題只要滿足點B是橢圓對稱軸上的點,且保證直線AB與橢圓相切,則結論仍然成立.同時在上述條件滿足的情況下還將本題推廣到雙曲線或拋物線中,進行簡單變式,在這里不加以證明,感興趣的讀者可以嘗試進行推導.

變式已知拋物線C:x2＝2py(p＞0)過點A(,2),直線l過點B(0,－2)且交拋物線C于點M,N,直線MA,NA分別交直線y＝－2于點P,Q,求證|PB|＝|BQ|.

3 結語

本文對2020年高考數學北京卷第20題進行了分析,可以看出本題是蝴蝶定理在圓錐曲線中的又一次推廣與引申.一方面,對解析幾何問題編擬的幾何背景進行分析,為解析幾何的教學提供一個研究性學習的思考方向,并對題目進行推廣,借助類比或者從特殊到一般的方法,體會推廣過程中如何抓住問題本質以及其隱含的規律;另一方面,高中階段的解析幾何重點是培養學生用代數方法研究幾何性質,但是在用代數法研究的過程中對幾何元素間的關系分析得越全面,就更有助于向代數方向的轉化.