求雙曲線離心率的幾種方法

◇ 河南 張振繼(特級教師)

1 從離心率的定義出發考慮

已知雙曲線的焦距及實軸的長分別為2c,2a,則其離心率.

例1已知雙曲線的左、右焦點分別是F1,F2,過F1作圓x2＋y2＝a2的切線,切點為E,交雙曲線右支于點P,若則雙曲線C的離心率為_______.

解析

點評

本題通過題設條件求出a,c的值,然后再利用離心率的定義求得離心率.

2 從雙曲線漸近線的斜率出發考慮

中心在原點O,焦點在x軸上的雙曲線漸近線的斜率為k,則離心率.

中心在原點O,焦點在y軸上的雙曲線漸近線的斜率為k,則離心率.

例2(1)已知拋物線x2＝－4by的準線與雙曲線的左、右支分別相交于B,C兩點,A為雙曲線的右頂點,O為坐標原點,若∠BOC＝4∠AOC,則雙曲線的離心率為________.

A.(1,2] B.(1,2)

C.[2,＋∞) D.(2,＋∞)

解析

(1)拋物線的準線方程為y＝b,與雙曲線方程聯立,可得由∠BOC＝4∠AOC,可得所 以 ∠AOC＝30°,所以

3 從雙曲線的漸近線與實軸的夾角考慮

已知雙曲線的漸近線與實軸的夾角為α,則其離心率.

例3(1)已知雙曲線的左、右焦點分別為F1(－c,0),F2(c,0),圓x2＋y2＝c2與雙曲線一條漸近線交于點A,若直線AF1與另一條漸近線的交點B恰好是AF1的中點,則雙曲線的離心率為( ).

解析

(1)由題設,得F1A⊥AF2,B,O是分別是AF1,F1F2的中點,所以OB⊥AF1,故∠BOF1＝ ∠AOB.又 ∠AOF2＝ ∠BOF1,所 以∠AOF2＝60°,離心率故選B.

(2)由題設|F1F2|＝2c,∠F1AF2＝90°,∠AF2F1＝30°,所以 ∠AF1F2＝60°,而|OF1|＝|OA|,所以△AF1O為等邊三角形,所以∠AOF1＝60°,即其中一條漸近線的傾斜角為60°,故e＝所以選A.

4 構建離心率e的方程

例4(1)(2019年全國卷Ⅱ文12)設F是雙曲線的右焦點,O為坐標原點,以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2相交于P,Q兩點,若|PQ|＝|OF|,則雙曲線C的離心率為( ).

解析

(1)以OF為直徑的圓的方程為兩式相減得所以

即e4－4e2＋4＝0,解得e2＝2,所以,故選C.

(2)設△F2AB邊長為t,由雙曲線的定義,得|BF1|－|BF2|＝2a,則|BF1|＝2a＋t,所以|AF1|＝2a.

又|AF2|－|AF1|＝2a,所以|AF2|＝4a,在△AF1F2中,∠F1AF2＝120°,|F1F2|＝2c,由余弦定理,得(2c)2＝(2a)2＋(4a)2－2×2a·4acos120°,解得,即雙曲線的離心率為7,故選D.

5 構建離心率e的不等式

例5已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|＝4|PF2|,則雙曲線的離心率e的最大值為( ).

方法1利用|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|構造不等式.由雙曲線定義,得|PF1|－|PF2|＝2a,又|PF1|＝4|PF2|,解得又.

方法2利用右支上的點的焦半徑大于等于ca構造不等式.設右頂點為A,則|PF2|≥|F2A|,即.

方法3利用右支上的點的橫坐標大于或等于a構造不等式.設P(x,y),則所以解得.

6 構建離心率e的函數

例6已知雙曲線右支上有一點A,它關于原點的對稱點為B,點F為雙曲線的右焦點,AF⊥FB,∠ABF＝α,且則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________.

解析

設雙曲線的左焦點為F′,連接AF′,BF′,則四邊形AF′BF為矩形,故|AB|＝|F′F|＝2c.在 Rt△ABF中,|AF|＝2csinα,|BF|＝2ccosα.由雙曲線的定義,得