例談2020年高考圓錐曲線定義的應用

◇ 山東 蘇麗娟

圓錐曲線的定義既是重要的數學概念,也是解答許多問題的重要工具,因此成為高考考查的重點.在解答問題時,若能靈活、巧妙地應用圓錐曲線的定義,就能深化對圓錐曲線概念的理解,同時還能提高運用定義去分析和解決問題的能力,開拓解題思維與視野.下面舉例說明圓錐曲線定義在求解2020年有關高考題中的應用.

1 求參數的值

例1(全國卷Ⅰ理4)已知A為拋物線C:y2＝2px(p＞0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y軸的距離為9,則p＝( ).

A.2 B.3 C.6 D.9

解析

利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.設拋物線的焦點為F,點A到y軸的距離為9,即點A的橫坐標為9,由拋物線的定義知|AF|＝解得p＝6,故選C.

點評

本題主要考查利用拋物線的定義計算參數p的值,考查學生轉化與化歸能力.

例2(全國卷Ⅲ理11)設雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為是C上一點,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,則a＝( ).

A.1 B.2 C.4 D.8

解析

根據雙曲線的定義、三角形面積公式、勾股定理,結合離心率公式,即可得出答案.因為,根據雙曲線的定義可得|PF2|＝4,即|PF1|·|PF2|＝8.

因為F1P⊥F2P,所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2,所以(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2,即a2－5a2＋4＝0,解得a＝1或a＝－1(舍),故選A.

點評

本題主要考查了雙曲線的性質以及定義的應用,涉及勾股定理及三角形面積公式的應用.

2 判斷位置關系

例3(北京卷7)設拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為l.P是拋物線上異于O的一點,過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線( ).

A.經過點OB.經過點P

C.平行于直線OPD.垂直于直線OP

解析

依據題意不妨作出焦點在x軸上的開口向右的拋物線,根據垂直平分線的定義和拋物線的定義可知,線段FQ的垂直平分線經過點P.如圖1所示,因為線段FQ的垂直平分線上的點到F與Q的距離相等,且點P在拋物線上,根據定義可知,|PQ|＝|PF|,所以線段FQ的垂直平分線經過點P,故選B.

圖1

點評

本題根據線段的垂直平分線和拋物線的定義作出判斷,考查了拋物線的定義的應用.

3 求長度

例4(江蘇卷18,節選)如圖2所示,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,點A在橢圓E上且在第一象限內,AF2⊥F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點B.求△AF1F2的周長.

解析

根據橢圓定義可得|AF1|＋|AF2|＝4,從而可求出△AF1F2的周長.因為橢圓E的方程為F2(1,0).由 橢 圓 定 義,得|AF1|＋|AF2|＝4,所以△AF1F2的周長為4＋2＝6.

圖2

點評

本題是橢圓定義的典型應用,一般地,已知橢的左、右焦點分別為F1,F2,點A是橢圓上的點,則△AF1F2的周長為2(a＋c).

例5(新高考卷13)斜率為的直線過拋物線C:y2＝4x的焦點,且與C交于A,B兩點,則|AB|＝________.

解析

先根據拋物線的方程求得拋物線的焦點坐標,再利用點斜式得出直線方程,與拋物線方程聯立消去y并整理得到關于x的一元二次方程,最后利用拋物線定義求得結果.

因為拋物線的方程為y2＝4x,所以拋物線焦點F的坐標為(1,0).又因為直線AB過焦點F且斜率為,所以直線AB的方程為y＝(x－1),代入拋物線方程消去y并化簡得3x2－10x＋3＝0,Δ＝100－36＝64＞0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則.過A,B分別作準線x＝－1的垂線,設垂足分別為C,D,如圖3所示,則

圖3

點評

本題考查了直線與拋物線的位置關系,同時考查了拋物線定義的應用.

例6(浙江卷8)已知點O(0,0),A(－2,0),B(2,0).設點P滿足|PA|－|PB|＝2,且P為函數圖象上的點,則|OP|＝( ).

解析

根據題意和雙曲線的定義,可知點P既在雙曲線的一支上,又在函數的圖象上,從而可求出點P的坐標,得到|OP|的值.

因為|PA|－|PB|＝2＜4,所以點P在以A,B為焦點,實軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支上,由c＝2,a＝1,可得b2＝c2－a2＝4－1＝3,即雙曲線的右支方程為而點P又在函數y＝的圖象上,所以由解得故選D.

點評

本題主要考查雙曲線定義的應用,以及二次曲線的位置關系的應用,考查了考生數學抽象、直觀想象和數學運算等數學核心素養.

4 求方程

例7(全國卷Ⅱ理19)已知橢圓(a＞b＞0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合,C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點,交C2于C,D兩點,且|CD|＝.

(1)求C1的離心率;

(2)設M是C1與C2的公共點.若|MF|＝5,求C1與C2的標準方程.

解析

(1)橢圓C1的離心率為(求解過程略).

(2)由(1)知a＝2c,b＝ 3c,橢圓C1的方程為的方程為y2＝4cx,聯立C1與C2的方程,求出點M的坐標,再利用拋物線的定義結合|MF|＝5可求得c的值,進而可得出C1與C2的標準方程.聯立消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0,解得或x＝－6c(舍去).

因此,曲線C1的標準方程為曲線C2的標準方程為y2＝12x.

點評

本題第(2)問考查了利用拋物線的定義求拋物線和橢圓的標準方程,考查計算能力.

圓錐曲線的定義是用圓錐曲線上的點到焦點的距離來刻畫的,因此涉及圓錐曲線上的點到焦點的距離問題,靈活運用定義是問題獲解的根本,它是相應標準方程和幾何性質的“源”,對于圓錐曲線的有關問題,要有運用圓錐曲線定義解題的意識,“回歸定義”是圓錐曲線問題重要的求解策略之一.